13.2. Критерій стійкості Найквіста

Частотний критерій американського вченого Найквіста (1932 рік) формулюється так: якщо розімкнена система знаходиться в області стійкості або на її границі, то для стійкості замкненої системи необхідно і достатньо, щоб частотний годограф (АФЧХ) розімкненої системи не охоплював точку -1на дійсній осі.

Справедливість критерію покажемо на прикладі стійкої системи без астатизму, передатна функція ланцюга ланок якої

.                  (1)

Передатна функція замкненої системи

.                                                (2)

Розглянемо допоміжну передатну функцію

,                                              (3)

де C(s) – характеристичний многочлен замкненої системи,

     A(s) - характеристичний многочлен розімкненої системи.

Згідно з критерієм Михайлова  при 0 £ ω £ ¥, але для A(jω), як многочлена n-ного степеню теж  при 0 £ ω £ ¥. Тому приріст фази годографа допоміжної частотної ПФ W₁(jω) дорівнює нулю, тобто

,   ω £ 0 £ ¥.                                            (4)

Останнє означає, що годограф W₁(jω) не охоплює початок координат, як показано для прикладу на рис. 13.3.

Тепер приймемо до уваги, що ЧПФ розімкненої системи

,                                                      (5)

тобто годограф ЧПФ розімкненої системи, це годограф допоміжної ЧПФ W₁(jω), здвинутий вліво на одиницю, як і показано на рис. 13.4.

 

 

 

Рис. 13.3. Годографи ПФ W₁(s), які не охоплюють точки (0,0)

 

При цьому, якщо годограф W₁(jω) не охоплював початок координат як на рис.11.3, то годограф W(jω) не охоплюватиме точку (-1,0), що і стверджує критерій Найквіста.

 

 

Рис. 13.4. Приклад годографів W(jω) стійких систем

 

На відміну від інших критерій Найквіста досить практичний. Він широко застосовується як при теоретичному, так в при експериментальному дослідженні систем. Останнє є головною перевагою цього критерію, яка обумовлена можливістю вимірювання частотних характеристик фізичними приладами.

13.3. Визначення запасів стійкості системи з критерію Найквіста

Як показано на рис.13.5 запаси стійкості легко визначити з годографу W(jω).

Дійсно, система на деякій частоті ω₀ знаходиться на границі стійкості, якщо годограф W(jω₀) проходить через точку з координатами (-1,0) для якоїA(ω₀)=1, j(ω₀) = -p. Частота, для якої A(ω) = 1 називається частотою зрізу і позначається як ω_z. Частоту , на якій j(ω) = 180⁰ позначимо через ω_p. Для стійкої системи j(ω_z) ¹ -p і A(ω_π) ¹ 1. Величину Dj=ô-p-j(ω_з)ô називають запасом стійкості з фази, а величину  називають запасом стійкості з амплітуди. На рис. 13.5 показаний годограф стійкої системи третього порядку з астатизмом, на якому позначені запаси стійкості DA і Dj.

 

Рис.13.5. Запаси стійкості DA і Dφ

 

Запаси стійкості можна визначати як із звичайних характеристик АЧХ і ФЧХ, так і з логарифмічних характеристик. Приклад визначення запасів стійкості з логарифмічних характеристик показаний на рис. 13.6.

 

Рис. 13.6. Визначення запасів стійкості з логарифмічних характеристик

Задачі

1.     Для САР, структурна схема якої приведена на рис.13.7, а значення параметрів в табл.13.1, визначте стан стійкості за допомогою критерію Михайлова.

 

Рис.13.7. Структурна схема САР

 

Таблиця 13.1. Значення параметрів  k₁, Т₁, k₀, k₂, Т₂.

№ п/п	k1	T1	k0	K2	T2	№ п/п	k1	T1	k0	k2	T2
1	0,8	0,06	15	2,4	0,03	3	0,9	0,08	10	2,2	0,06
2	0,5	0,04	10	3,6	0,09	4	1,1	0,01	40	2,0	0,04

 

2. Для умов задачі 1 побудуйте частотний годограф ланцюга ланок системи і визначте з нього стан стійкості замкненої системи за критерієм Найквіста.

3. З годографу в задачі 2 визначте запаси стійкості системи з амплітуди і з фази.

4. Для умов задачі 1 побудуйте частотні характеристики розімкненої системи і визначте з них стан стійкості замкненої системи за критерієм Найквіста. Знайдіть визначальні частоти і запаси стійкості системи з амплітуди і з фази.

4. Для умов задачі 1 побудуйте логарифмічні частотні характеристики розімкненої системи і визначте з них стан стійкості замкненої системи за критерієм Найквіста. Знайдіть визначальні частоти і запаси стійкості системи з амплітуди і з фази.