15. 6. Інтегральні оцінки якості перехідного процесу

Для визначення інтегральних оцінок якості перехідного процесу розглядають складову h₁(t) перехідного процесу, симетричну погасаючій складовійh_p(t) відносно часової осі, тобто

.                                                       (1)

Інтегральну оцінку тривалості перехідного процесу може дати просто інтеграл від h₁(t), тобто

.                                                            (2)

Інтегральними оцінками користуються в задачах оптимізації перехідного процесу. Як правило, метою таких задач є досягнення варіацією параметрів системи мінімальної інтегральної оцінки. Оцінка I₁ адекватна аперіодичному процесу (рис.15.8.а), але коливальний процес (рис.15.8.б) вона оцінює неправильно, оскільки при тривалому коливальному перехідному процесі можна одержати мале значення алгебраїчної суми площ під графіком функціїh₁(t). В такому випадку мінімальне значення інтегральної оцінки не свідчитиме про короткий коливальний перехідний процес.

Для коливальних процесів більш підходящою буде інтегральна квадратична оцінка тривалості перехідного процесу

.                                                         (3)

 

Рис.15.8. До визначення інтегральних оцінок якості перехідного процесу

 

Мінімум інтегральних оцінок виду (2) і (3) може бути досягнутим за рахунок великих швидкостей і прискорень керованого процесу. Між тим для реальних систем надмірні швидкість і прискорення вихідного процесу можуть бути не тільки не бажаними, але в багатьох випадках і небезпечними. Тому багато систем вимагають швидкого і одночасно “згладженого” процесу без надмірних швидкості і прискорення. На рис.15.9 показані швидкі перехідні процеси, в першому з яких (рис.15.9.а) при мінімізації інтегральної оцінки I₂ швидкість досягнута за рахунок великих перевантажень по швидкості і прискоренню і за рахунок великого перерегулювання.

 

 

Рис.15.9. Швидкі перехідні процеси.

 

Другий процес (рис.15.9.б) теж представляє результат оптимізації, але з використанням більш досконалої інтегральної оцінки. Такою може бути, наприклад, поліпшена квадратична інтегральна оцінка I₃

,                                                   (4)

яка включає швидкість процесу   v_h (t)=dh₁(t)/dt=.

Як видно з рис. 15.9.б тривалість процесу вибору залежить від вибору величини Т в критерії (4), мінімізація якого наближає процес h₁(t) до аперіодичного. Дійсно, I₃ можна представити в такому вигляді

.                                (6)

Оскільки

,                                    (7)

то критерій I₃ перепишемо в такому вигляді:

.                                   (8)

Мінімуму критерію I₃ у виразі (8) відповідає умова

,                                      (9)

яка являє собою диференціальне рівняння

.                                                    (10)

Розв’язком рівняння (10) є аперіодичний процес

h₁(t)=h₁(0)ּexp(-t / T),                                                    (8)

що й доводить справедливість висловленого припущення про аперіодичний характер процесу, оптимізованого за удосконаленим критерієм I₃.

З багатьох відомих в теорії автоматичного регулювання інтегральних критеріїв проектувальник автоматичної системи має скористатись тим, який забезпечить вимоги до заданих показників якості перехідного процесу.

Задачі

1. Визначте перехідний процес h(t) системи регулювання і значення її усталеної похибки e(¥), якщо дійсна частина частотної характеристики системи має вид

.

2. Яке перерегулювання s можна очікувати в системі з тривалістю перехідного процесу   і з частотою зрізу розімкнутого ланцюга ланок ω_z=10рад/с.

3. Аперіодичний запас стійкості системи h =3. Визначте практичну тривалість найповільнішої компоненти перехідного процесу при фіксації кінця процесу на рівні 0,05 від максимального значення цієї компоненти.

4. Коливальний запас стійкості замкненої системи визначається коренями . У скільки разів перший максимум  перехідного процесу буде більшим від другого , якщо перехідний процес визначається, в основному , заданими коренями .