15.5. Кореневі оцінки якості перехідного процесу

Для оцінки якості перехідного процесу використаємо корені характеристичного рівняння замкненої системи. Припустимо, що найближчим до уявної осі комплексної площини змінної s є дійсний корінь ss₁ (рис.15.6.а).

Тоді цей корінь визначає аперіодичний запас стійкості системи η=│s₁│ і він же визначає, в основному, тривалість перехідного процесу, оскільки йому відповідає найповільніша складова перехідного процесу  Практична тривалість q₁ цієї складової залежить від рівня ∆ּС₁, на якому фіксується тривалість. З рівняння  одержуємо

,                                       (1)

що при ∆=0,05 (5%) дає оцінку тривалості перехідного процесу системи виразом

q @ 3/h.                                                               (2)

 

Рис. 15.6. До визначення запасів стійкості

 

Якщо найближчою до уявної осі виявиться пара комплексно-спряжених коренів s₁=a₁±jβ₁ (рис.14.6.б), то їй відповідатиме коливальна складова перехідного процесу A₁exp(α₁t)∙sin(β₁t+j₁). Дійсна частина a₁ цих коренів визначає швидкість погасання коливальної компоненти і коливальний запас стійкості η=│α₁│, а уявна частина b₁ визначає частоту коливань. Оцінка тривалості перехідного процесу формулою (2) залишається справедливою і в даному випадку.

 

Степінь коливальності перехідного процесу можна оцінити величиною , де α і β відповідно дійсна і уявна компоненти найближчої до вертикальної осі пари комплексно-спряжених коренів. Степінь коливальності будемо розуміти так, що чим більша величина m, тим триваліша коливальна складова перехідного процесу. Швидкість погасання викидів перехідної характеристики оцінюють відношенням  двох сусідніх викидів коливального перехідного процесу. Назвемо це відношення коефіцієнтом погасання коливань перехідного процесу, позначивши

.                                                   (3)

Покажемо, що коефіцієнт погасання коливань перехідного процесу можна оцінити величиною  при умові, що коливальна компоненти  превалює над іншими погасаючими складовими перехідного процесу. Дійсно, при такій умові , взявши до уваги, що відстань в часі між двома сусідніми максимумами дорівнює періоду коливань , оцінку для K_p одержимо в такому вигляді:

.        (4)

Вимоги до запасу стійкості η накладають обмеження на область розміщення коренів характеристичного рівняння. корені повинні знаходитись по ліву сторону від вертикальної лінії, яка проходить через точку з координатами (-h,0) на площині комплексної змінної s. Вимоги до до степені коливальності μ перехідного процесу обмежують значення коренів характеристичного рівняння передатної функції сектором з кутом при вершині  в лівій півплощині комплексної площини. Зазначені обмеження області полюсів передатної функції показані на рис.15.7.

Зауважимо, що викладене справедливе для систем, у яких нулі передатної функції (корені чисельника) суттєво відрізняються від її полюсів. Останнє можна бачити з виразу

,                     (3)

одержаного з формули (5) в розділі 15.1 розкладанням її чисельника B(s) на множники виду (s_i-n_j), де n_i={n₁, n₂,…,n_m} – нулі передатної функції, а s_i={s₁, s₂, …s_n} – полюси передатної функції. Якщо якийсь з нулів n_j передатної функції буде близьким до полюсу s_i, який своєю компонентою в перехідному процесі міг би в основному визначити поведінку цього процесу, то такий визначальний полюс буде знівельований нулем.

 

Рис.15.7. Область допустимих значень коренів