14.5. Еквівалентна гармонічна дія

Випробування автоматичної системи на здатність відпрацьовувати поліноміальну дію виду

x(t)=x₀+v_m t+a_m t²                                                    (1)

з заданою максимальною швидкістю v_m і максимальним прискоренням a_m ускладнене малими часовими рамками такої дії. Тому при випробуванні автоматичної системи використовують еквівалентну гармонічну дію

x_е (t)=A₀sin ω₀t.                                                    (2)

Параметри A₀ і ω₀ еквівалентної дії підбирають такими, щоб її максимальна швидкість і максимальне прискорення були рівними відповідно заданим значенням v_m і a_m поліноміальної дії. Параметри A₀ і ω₀ еквівалентної дії знаходять з таких рівнянь:

,                                              (3)

.                                               (4)

З рівнянь (2) і (3) знаходимо необхідні параметри еквівалентної синусоїдальної дії:

.                                           (4)

Таким чином, еквівалентна дія на вході, яку повинна відпрацьовувати система, визначається з  виразу:

                                                    (5)

Амплітудна A_e і фазова j_e помилки системи з еквівалентною дією на вході визначається з таких виразів:

,   ,                                  (6)

де A_z(ω) і j _z(ω) - відповідно АЧХ і ФЧХ замкненої системи.

14.6. Усталена помилка при довільній дії і коефіцієнти помилок

Зображення помилки замкненої системи при довільній дії x(t) на вході визначається функцією

E(s) = Ф_ε(s)·Χ(s).                                                  (1)

Поставимо до керуючої дії вимогу, щоб х(t) була диференційованою функцією, але мала не більше ніж n похідних. Дія х(t) може бути, наприклад многочленом степені n:

x(t)=x₀+x_1ּt+…+x_nּtⁿ,                                             (2)

Помилку ε(t) теж представимо у вигляді многочлена степені n. Для цього розкладемо зображення помилки Ф_ε(s) в ряд Тейлора і обмежимось n+1членами, переписавши (1) у вигляді:

         (3)

де

.                                            (4)

Перейдемо від зображення помилки до оригіналу в символічній формі:

                          (5)

де . Вираз (5) в звичайній формі матиме вигляд:

.                             (6)

Усталена помилка має місце при великих значеннях t, тобто

.                                          (7)

Величини С_i прийнято називати коефіцієнтами помилок. Величину С₀ називають коефіцієнтом статичної помилки, C₁-коефіцієнтом швидкісної помилки, С₂-коефіцієнтом помилки прискорення.

Визначення коефіцієнтів помилок для систем високого порядку за формулою (4) потребує громіздких математичних перетворень. Існує простий метод визначення коефіцієнтів [1], який можна назвати методом ділення. Суть методу в тому, що чисельник ПФ Ф_ε(s) послідовно ділять (починаючи з молодших членів) на знаменник. Многочлен частки має таку структуру

 .                                       (8)

Це дає можливість легко визначити коефіцієнти помилок з результату ділення.

Задачі

1. Знайдіть статичну помилку системи регулювання з передатною функцією ланцюга ланок  при вхідній дії  x(t) = 1(t).

2. Знайдіть усталену помилку системи з передатною функцією її ланцюга ланок  при вхідній дії  x(t) = 1+0,01t.

3. Для автоматичної системи, розімкнена частина якої являє собою інерційну ланку з параметрами k = 50 і T = 1/6,28 с знайдіть амплітудну і фазову помилку на частоті f = 1 Гц.

4. Визначте амплітуду  і частоту синусоїдальної дії , яка еквівалентна вхідній дії x(t) з максимальною швидкістю v = 2 і максимальним прискоренням a = 1.

5. Визначте коефіцієнти помилок C₀, C₁, C₂ і відповідні складові самої помилки за період синусоїдальної вхідної дії u(t) = sin (6.28ּt) для системи з передатною функцією ланцюга ланок 

6. Покажіть, що замкнена система з передатної функцією ланцюга ланок

має такі коефіцієнти помилок 

,  , .