19. Система автоматичного керування з запізненням

Перелік питань: ланка з запізненням, передатні функції систем з запізненням, частотні характеристики розімкненого ланцюга ланок з запізненням, стійкість замкненої системи з запізненням, визначення критичного часу запізнення за допомогою критерію Найквіста.

19.1. Ланка з запізненням

Реакція ланки з запізненням, тобто, її вихідний сигнал, відстає на деякий час τ від реакції ланки без запізнення. До пристроїв з запізненням можна віднести лінії і канали зв’язку (особливо супутникового), трубопроводи, транспортери.

Для прикладу порівняємо аперіодичну ланку без запізнення і аперіодичну ланку з запізненням. Диференціальне рівняння звичайної аперіодичної ланки має вид

                                               (1)

і її передатна функція

.                                                (2)

Диференціальне рівняння ланки з запізненням має вид

,                                        (3)

а її передатна функція

.                                              (4)

Рівняння (3) називається диференціальним рівнянням з запізненим аргументом.

Порівнюючи (2) з (3) приходимо до висновку, що ланку з запізненням можна представити показаним на рис.19.1 послідовним з’єднанням звичайної ланки і спеціальної ланки запізнення, яку називають елементом запізнення. Передатна функція елемента запізнення визначається виразом

.                                                     (5)

 

Рис. 19.1. Представлення ланки з запізненням

 

Перехідна характеристика звичайної інерційної ланки і ланки з запізненням показана на рис.19.2, з якого видно, що запізнення визначається величиною τ.

 

Рис.19.2. Перехідна характеристика звичайної ланки і ланки з запізненням

 

19.2. Передатна функція системи з запізненням

Структурна схема системи автоматичного регулювання, в ланцюгу ланок якої є елемент запізнення, приведена на рис. 19.3.

 

Рис.19.3. Структурна схема системи з запізненням.

 

Передатна функція ланцюга ланок

,                                                   (1)

де W₀(s) –ПФ ланцюга ланок без елемента запізнення.

Якщо

                                                           (2)

то

.                                              (3)

Передатна функція замкненої системи буде такою:

.                               (4)

Видно, що як чисельник так і знаменник передатної функції тепер не є алгебраїчним многочленом, тому аналіз системи з запізненням складніший від системи без запізнення.

19.3. Частотні характеристики розімкненого ланцюга ланок з елементом запізнення

Як показано вище, передатну функцію розімкненого ланцюга ланок, в склад якого входить елемент запізнення, можна записати у вигляді

,                                                   (1)

де W₀(s) –ПФ ланцюга ланок без запізнення.

Частотна ПФ ланцюга ланок з запізненням

.                                                (2)

АЧХ ланцюга ланок з запізненням

,                                     (2)

тобто елемент запізнення не впливає на АЧХ ланцюга ланок.

ФЧХ ланцюга з ланок з запізненням

φ(ω)=argW(jω)=φ₀(ω) - ωτ,                                           (3)

звідки видно, що запізнення суттєво впливає на ФЧХ, оскільки φ(ω) → - ∞ при ω→ ∞. Оскільки при ω→ ∞  АЧХ  А(ω)→0, то частотний годограф ЧПФW(jω) закручується по спадаючій спіралі, як показано на рис. 19.4.

 

Рис. 19.4. Годограф ЧПФ W(jω) ланцюга ланок з елементом запізнення

 

Показана на рис.19.5 фазово-частотна характеристика φ(ω) ланцюга ланок з елементом запізнення суттєво відрізняється від ФЧХ φ₀(ω) ланцюга без елемента запізнення. Швидке збільшення від’ємного фазового зсуву приводить до зміни запасів стійкості системи. Зменшується запас стійкості з фази: з рисунку видно, що запас Dφ системи з запізненням менший від запасу Dφ₀ системи без запізнення.  D D і У зв’язку із зменшенням частоти ω_πзменшується також запас стійкості з амплітуди. З рисунку видно, що запас DА системи з запізненням менший від запасу DА₀ системи без запізнення. При деяких умовах це може призвести до втрати стійкості системи.

 

Рис.19.5. Частотні характеристики ланцюга ланок з запізненням і без нього