Контрольні питання

1.       Як визначити зображення вихідної величини системи через її ПФ?

2.       Як визначити зображення перехідної характеристики системи через її ПФ?

3.       Запишіть вираз для ПФ замкненої системи через ПФ розімкненої системи.

4.       Дайте означення ПФ для помилки системи.

5.       Як визначити зображення помилки системи?

6.       Запишіть ПФ для помилки через ПФ її ланцюга ланок.

7.       Як знайти диференціальне рівняння системи з її передатної функції?

8.       Обґрунтуйте можливість аналізу автоматичної системи лінійним методом.

9.       Як замінити диференціальне рівняння n-го порядку системою рівнянь першого порядку.

10.   Як представити систему рівнянь в матричній формі?

11.   В чому полягає особливість пошуку системи рівнянь для вихідних величин її ланок (неформальних змінних).

11. Частотні характеристики замкненої системи

Перелік питань: розрахунок частотних характеристик замкненої системи, розрахунок дійсної і уявної частин ЧПФ замкненої системи.

11. 1. Розрахунок частотних характеристик замкненої системи

Частотна передатна функція замкненої системи відносно керуючої дії визначаються формулами

                                                          (1)

де W(jω) - ЧПФ розімкненого ланцюга ланок.

В загальному випадку W(jω) і F(jω) можна записати так:

,                                                        (2)

.                                                       (3)

Виразимо частотні характеристики замкненої системи через частотні характеристики розімкненої. Для цього підставимо (2) і (3) в (1) і виконаємо деякі перетворення:

     (4)

Порівнюючи ліву і праву частини рівняння (4) остаточно одержуємо:

,                                     (5)

.                                            (6)

Формули (5) і (6) дають можливість розрахувати ЧХ замкненої системи через ЧХ розімкненої. Зазначимо, що кожна з характеристик A_z(ω) і j_z(ω) замкненої системи залежить як від АЧХ, так і від ФЧХ розімкненої системи.

При розрахунку функції j_z(w) потрібно контролювати знаменник виразу (6). Зокрема, при від’ємних значеннях знаменника необхідно результат обчислення функції  arctg  зменшити на величину p (180°).

Якщо відомі логарифмічні ЧХ розімкненої системи, тобто A_L(ω) і j(ω), то їх можна використати для розрахунку A_z(ω) і j_z(ω), але в (5) і (6) замістьA(ω) потрібно підставити , що випливає з рівняння 

11.2. Розрахунок дійсної і уявної частин чпф замкненої системи

Для аналізу систем автоматичного регулювання крім функцій A_z(ω) і j_z(ω) використовують також дійсну P(ω) і уявну Q(ω) складові частотної передатної функції замкненої системи. Ці функції використовують, зокрема, для розрахунку часових характеристик автоматичної системи і визначення показників якості її роботи.

Функції P(ω) і Q(ω) можна виразити через АЧХ і ФЧХ замкненої системи з виразу

,          (1)

але більше значення має представлення функцій P(ω) і Q(ω) через частотні характеристики розімкненої системи. Таке представлення було використане в попередньому параграфі при виведенні формули

,             (2)

де функція  була попередньо записана в такому вигляді:

.                    (3)

Звідси дійсна складова ЧПФ замкненої системи

,                                       (4)

уявна складова ЧПФ замкненої системи

.                                      (5)

ЧПФ розімкненої системи W(jω) теж можна виразити через її дійсну і уявну складові, тобто

.                                                 (6)

Дійсну P(ω) і уявну Q(ω) складові замкненої системи можна також виразити через дійсну U(ω) і уявну V(ω) складові розімкненої системи. Запишемо такі формули без їх виведення, яке можна знайти в [2]:

                                                     (4)

                                                    (5)

В [2] приведений також графічний метод побудови характеристик P(ω) і Q(ω) через характеристики U(ω) і V(ω). Останні на площині (U,V) стають колами при і. Тому цей метод називають методом кругових діаграм. У зв’язку з широким розповсюдженням досконалих обчислювальних засобів, графічними методами тепер користуються рідко.

Задачі

1.     Для САР, структурна схема якої приведена на рис.1, а значення параметрів в табл.11.1, знайдіть формули для розрахунку частотних характеристик ланцюга ланок системи, після чого за цими формулами і формулами для A_z(ω) і j_z(ω) розрахуйте і побудуйте частотні характеристики A(ω), j(ω),A_z(ω), j_z(ω)

 

Рис.11.1. Структурна схема САР

Таблиця 11.1. Значення параметрів  k₁, Т₁, k₀, k₂, Т₂.

 

№ п/п	k1	T1	k0	k2	T2	№ п/п	k1	T1	k0	k2	T2
1	0,8	0,06	15	2,4	0,03	3	0,9	0,08	10	2,2	0,06
2	0,5	0,04	10	3,6	0,09	4	1,1	0,01	40	2,0	0,04