Пусть – допустимое превышение планируемой интенсивности воздушного движения в s-м элементе на l-м интервале времени . Тогда вместо (8.13) имеем:

. (5.5)

Для того чтобы не допустить появление длительных перегрузок, на переменные необходимо наложить дополнительные условия, например, вида:

(5.6)

При этом – длительность интервала, на котором допускается локальная перегрузка.

Соотношения (5.2), (5.3), (5.5), (5.6) определяют математическую модель (СП2) суточного ПВД, соответствующую основным положениям технологии работы органов ПВД, принятым в ГА.

Для оценки сложности УВД при реализации ПВД используем показатели загруженности диспетчера РЦ УВД, учитывающие только интегральную загруженность, что можно считать допустимым на этапе суточного планирования при обеспечении требований принципа равномерной загруженности различных секторов и зон УВД.

При сделанных допущениях показатель оценки загруженности диспетчера сектора (зоны) можно представить в виде:

где: – занятость диспетчера сектора в l-м интервале времени, обусловленная обязательными сеансами связи при реализации варианта плана полета – соответственно занятость и коэффициент напряженности при решении ПКС между и , если ПКС не возникает); – весовые коэффициенты, учитывающие степень влияния элементов занятости и напряженности на загруженность.

В первом приближении можно ограничиться учетом только временной занятости. Тогда:

. (5.6)

При этом должно выполняться условие

, (5.7)

где – предельно допустимая занятость - го сектора в l-м интервале времени; – коэффициент занятости, значение которого определяется с учетом ожидаемого состояния организации УВД.

Теперь математическая модель рационального суточного планирования может быть представлена в виде задачи оптимизации (СПЗ), определяемой выражениями (5.2) – (5.4), (5.7), (5.8). Сохранение в модели условий (5.4) объясняется необходимостью учета пропускной способности таких элементов ВП, как, например, критические точки воздушных трасс, не обеспеченных радиолокационным контролем, зоны (сектора) УВД, для которых установлены временные ограничения по частоте приема ЛА, и др.

Учитывая неизбежное возрастание сложности исследования и практического использования модели СП3 из-за наличия в ее условиях нелинейных ограничений, рассмотрим преобразования задачи, эквивалентные с точки зрения ее точного решения.

Сначала воспользуемся традиционным в теории исследования операций приемом перевода части ограничений в целевую функцию. Для этого введем в рассмотрение функцию Лагранжа, ассоциированную с нелинейными ограничениями:

где – множители Лагранжа.

Теперь вместо исходной задачи можно рассматривать ей эквивалентную:

(5.9)

где: – множество ограничений (5.3), (5.4).

Предположим, что известны , соответствующие решению задачи (8.18). Тогда исходная задача приводится к виду

. (5.10)

При произвольных фиксированных значениях выражение

(5.11)

можно рассматривать в качестве комплексного показателя эффективности ПВД. При этом можно интерпретировать как коэффициенты компромисса, установленного органом ПВД между экономичностью и сложностью УВД при реализации плана воздушного движения.

Определение показателя эффективности, таким образом, позволяет исследовать более широкий спектр возможных решений проблемы рационального суточного планирования по сравнению с исходной постановкой задачи. Поэтому далее в качестве основной будем рассматривать задачу минимизации показателя , определяемого выражениями (5.2), (5.7), (5.11), при ограничениях (5.3), (5.4). При этом без нарушения общности исследования моделирования и особенностей решения ограничимся рассмотрением задачи ПВД при R=1 и k=1, которую можно представить в следующем виде (СПО):

(5.12) при ограничениях (5.3) и

(5.13)

(5.14)

Здесь .

Несмотря на относительную простоту постановки задачи, использовать такую модель для целей автоматизации процессов ПВД затруднительно из-за отсутствия эффективных методов ее решения. Поэтому целесообразно рассмотреть эквивалентные постановки, не содержащие в моделях множества допустимых решений и показателя эффективности нелинейных составляющих. Возможность такого перехода обеспечивается дискретным характером переменных. Учитывая зависимость выбора метода и эффективности его использования при решении задачи от структуры множества допустимых решений, необходимо исследовать некоторое множество эквивалентных постановок.

В качестве альтернативных вариантов преобразований, приводящих к постановке исходной проблемы в виде задачи линейного программирования с булевыми переменными, рассмотрим два возможных подхода: эвристический, основанный на графической и содержательной интерпретации условий задачи в виде сетевой модели, и аналитический, основанный на непосредственном использовании алгебраических свойств булевых функций.

При первом подходе для моделирования условий задачи (5.3), (5.14) и учета ПКС вводится в рассмотрение сеть, в которой: каждому рейсу соответствуют начальный узел (исток) i и конечный узел (сток) , каждому варианту плана полета соответствует дуга с затратами на передачу единичного потока i-го продукта и единичной пропускной способностью.

Наличие конфликтности вариантов планов полета моделируется включением в точке пересечения ассоциированных с ними дуг пары дуг с единичными пропускными способностями и затратами на передачу единичного потока, соответственно равными 0 и .

Понятно, что если в результате решения задачи окажется целесообразным использовать одновременно варианты планов и , то для передачи потоков будут использованы обе дуги. В случае реализации одного из них для передачи потока в соответствии с требованием минимизации будет использована дуга типа (0, 1).

Требования выполнения рейсов задаются необходимостью передачи единичных продуктов из истоков в соответствующие им стоки . При этом учет многопродуктовости осуществляется путем введения n начальных дуг с нулевыми затратами и единичной пропускной способностью, а также выделением цепей, допустимых для передачи i-го продукта. Если j-й вариант выполнения i-го рейса имеет ПКС, то на построенной сети он будет иметь цепей, а каждый рейс – цепей. Таким образом, полученная сеть будет состоять из дуг и цепей.

Учет пропускной способности элементов ВП, определяемой условием (5.13), осуществляется введением дополнительных цепей. Пусть, например, через некоторую подконтрольную точку s проходят K_s вариантов планов выполнения рейсов в одном высотном слое в течение рассматриваемого интервала времени, а пропускная способность точки в этом интервале времени в данном высотном слое . Тогда дополнительно построенная цепь должна пропустить . Так как исток со стоком этой цепи соединен дугами типа (0, 1), общими с цепями, интерпретирующими К_s вариантов рейсов, то дуг будут заблокированы дополнительным потоком и ровно столько же продуктов (вариантов рейсов) не будут иметь замкнутых цепей на сети.

Определим матрицу инциденций дуги-цепи следующим образом:

Обозначим через y_k поток, протекающий по цепи k; D_s – множество цепей, соответствующих вариантам планов полетов, проходящих через точку с ограниченной пропускной способностью. Определим матрицу инциденций точки - цепи следующим образом:

Тогда задача рационального суточного ПВД представляется в следующем виде:

минимизировать

(5.15)

при ограничениях

(55.16)

(5.17)

(5.18)

где – суммарные затраты на передачу единичного продукта по цепи k.

Аналитический подход к преобразованию задачи СПО состоит в использовании известных алгебраических выражений для булевых функций. В частности, имеем

(5.19)

(5.20)

Подставив значение , определяемое выражением (5.19), в (5.12) и используя формализм исключения из целевой функции суммы модулей линейных функций, получим задачу линейного программирования с булевыми переменными, эквивалентную задаче СПО:

при ограничениях(5.3), (5.13), (5.20) и

(5.21)

. (5.22)

С учетом (5.20) выражение (5.21) запишем в виде

; (5.23)

; (5.24)

Введем дополнительные переменные , тогда вместо (5.23) имеем .

Определив отсюда значение и подставив его в (5.24), с учетом (5.22) получим

Легко видеть, что первое из этих условий является доминирующим. Поэтому, полагая и учитывая, что , рассматриваемую задачу можно привести к виду (СПО-2):

(5.25)

при ограничениях (5.3), (5.13) и

(5.26)

(5.27)

(5.28)

Задача СПО-2 по сравнению со СПО содержит дополнительных переменных и ограничений.

5.3. ПОСТРОЕНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ОБХОДНЫХ МАРШРУТОВ

Основными методами организации потоков воздушного движения при суточном и текущем планировании являются: обход перегруженных зон и районов УВД по разработанным обходным маршрутам и планируемые задержки вылетов. Необходимость разработки обходных маршрутов возникает из-за снижения пропускной способности отдельных участков трасс или зон УВД, в результате чего становится невозможной реализация планов полета для отдельных рейсов. Как правило, к этому приводят изменения состояния системы УВД (например, отказ РТС) и метеоусловий (например, образование грозовых очагов), установление ограничений на полеты в рассматриваемой зоне. Кроме того, пропускная способность участков трасс и маршрутов изменяется в процессе решения задач суточного планирования, например методом последовательного планирования с учетом приоритетов.

Во всех этих ситуациях возникает задача выбора рационального обходного маршрута и принятия решений о целесообразности его реализации или задержки рейса на время Т, определяемое с учетом установленного или прогнозируемого интервала времени действия ограничений. Рациональность обходного маршрута определяется показателем эффективности, в общем случае являющимся комплексным и учитывающим большое число факторов. Однако необходимость сопоставления его значения со временем возможной задержки рейса приводит к целесообразности назначения показателя, соразмерного с показателем «убытков» для оценки эффективности вариантов обходных маршрутов. В этом качестве может служить экономический показатель J_s, характеризующий рост эксплуатационных расходов с увеличением дальности полета (протяженности маршрута). Расчеты значений стоимости рейса S для различных типов ЛА, произведенные в соответствии с нормативными документами, и их последующая обработка с помощью метода наименьших квадратов показали, что зависимость значений S от протяженности маршрута L (в штиль) может быть с достаточной для практических целей точностью аппроксимирована линейной функцией:

(5.29)

Убытки С от задержки рейса на время Т также определяются линейной зависимостью:

(5.30)

С учетом (5.29), (5.30) критерий принятия решения о целесообразности реализации обходного маршрута может быть формализован в виде проверки выполнения неравенства

(5.31)

где , – соответственно протяженность обходного и запланированного маршрутов; – приращение протяженности маршрута.

С учетом (5.30) из уравнения (5.31) получим: если – задержка вылета на время . При принятие решения должно осуществляться по другим показателям, учитывающим текущее и прогнозируемое состояние системы УВД, воздушной и метеообстановки.

Аналогично рассмотренному формулируется критерий принятия решения о предпочтительности комбинированных вариантов изменения планов полетов: план полета с задержкой вылета Т_i и приращением протяженности маршрута предпочтительнее плана полета с параметрами , если

В общем случае рациональный обходной маршрут выбирают на основании сравнения решений задач оптимизации маршрута на сети трасс, модифицированной с учетом имеющихся ограничений, и внетрассового маршрута.

Первая задача формулируется в виде классической задачи о кратчайшем расстоянии на сети. При этом известные методы ее решения пригодны как для оптимизации маршрута по показателю L, так и по ряду других показателей (эквивалентное расстояние или время полета), вводимых в рассмотрение, например при необходимости учета ветра по маршруту.

Задача построения оптимального внетрассового маршрута в общем случае формулируется в виде модификации известной вариационной задачи о выборе траектории осевой линии трассы, на которой ВС из заданной точки совершает перелет в конечную за наименьшее время. При этом модификация постановки задачи связана с учетом ограничений, определяемых границами запрещенных для полетов областей, а также необходимостью учета погрешностей выдерживания курса по маршруту, обусловленных причинами различного характера и зависящими в основном от состояния систем навигации и УВД, метеоусловий и протяженности обходного маршрута. Решение задачи в такой постановке представляется возможным только с применением средств вычислительной техники при соответствующем методическом и программном обеспечении автоматизации процессов планирования.

В практике работы центров планирования может быть использован приближенный расчет обходных маршрутов. Алгоритм его включает следующие операции:

— определение участков трасс, закрытых для полетов, и соответствующих интервалов времени закрытия;

— анализ планов полета в зоне УВД, определение запрещенных рейсов, установление приоритетов в планировании;

— построение для каждого рейса с учетом приоритетов обходного маршрута на сети трасс с учетом их пропускной способности; при невозможности использования трасс построение графическим способом и согласование с заинтересованными органами внетрассового маршрута;

— определение целесообразности использования обходного маршрута или назначения задержки по графикам, построенным в соответствии с критерием принятия решения для всех типов ЛА, эксплуатируемых в зоне;

— согласование плана полета со смежными зонами УВД, рассылка информации в заинтересованные службы и органы.

Рассмотренный алгоритм может быть положен в основу технологии работы диспетчерского состава центров планирования при обосновании решений, направленных на снижение экономических потерь от простоев ЛА на земле и повышение регулярности полетов.