Лабораторная работа № 2 определение момента инерции твердых тел методом крутильных колебаний

Целью данной лабораторной работы является определение момента инерции твердых тел различной формы методом наблюдения крутильных колебаний.

Момент инерции - это физическая величина, определяющая его инерционные свойства при вращательном движении. Момент инерции твердого тела относительно некоторой неподвижной оси - скалярная величина, равная сумме моментов инерции его материальных точек относительно этой же оси, т.е.

(1)

где r_i - расстояние материальной точки массой m₁ от оси вращения (радиус ее вращения). Суммирование ведется по всем материальным точкам, на которые условно делится данное твердое тело.

Схема лабораторной установки представлена на рисунке.

Общий вид установки

Если твердое тело жестко закрепить в рамке крутильного маятника, подвешенной на упругой вертикально натянутой нити-проволоке и вывести из положения равновесия, приложив пару сил в горизонтальной плоскости, то маятник будет совершать гармонические крутильные колебания (вследствие упругости проволоки). Уравнение таких колебаний для небольших амплитуд (углов) отклонения  можно записать в виде

(2)

где  - угол отклонения рамки от положения равновесия; - циклическая частота колебаний рамки; k - модуль кручения проволоки; J - момент инерции системы твердое тело-рамка.

Следовательно, период Т крутильных колебаний системы

(3)

Для нахождения момента инерции твердого тела произвольной формы необходимо знать момент инерции рамки, в которой данное тело закреплено. В данной работе для этого используется эталонное тело - кубик, момент инерции которого легко подсчитывается по формуле

(4)

где - длина ребра кубика, а m - его масса.

Взаимосвязь момента инерции рамки J₀ и периода ее крутильных колебаний Т₀ по аналогии с (3) дается выражением

(5)

Следовательно, период крутильных колебаний Т₀ системы рамка-кубик

(6)

где J₀ - момент инерции кубика (эталонного тела).

Деля выражение (6) и (5) друг на друга, получаем

(7)

откуда с учетом выражения (4) находим момент инерции рамки

(8)

С определением момента инерции рамки становится возможным нахождение момента инерции J_х твердого тела любой формы. Для этого в рамке жестко закрепляется исследуемое тело и определяется период колебаний Т_х системы рамка-исследуемое тело. Тогда, по аналогии с выражением (7), можно записать

(9)

и по аналогии с выражением (8)

(10)

Соотношение (10) является окончательным расчетным выражением настоящей лабораторной работы.

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

1. При всех ВЫКЛЮЧЕННЫХ кнопках на пульте управления установки включить вилку шнура питания в электросеть.

2. Включить кнопку “Сеть” на пульте, а затем кнопку “Сброс”.

3. Повернуть рамку без груза на угол примерно 90⁰ по часовой стрелке и отпустить ее. Нажать кнопку “Пуск”. По совершении рамкой некоторого числа колебаний нажать кнопку “Стоп”. Число колебаний рамки и соответствующее время колебаний определить по приборам установки. После чего ВЫКЛЮЧИТЬ кнопку “Сеть”.

4. Операции п. 2 и 3 повторить еще 5-7 раз. По полученным результатам определить периоды колебаний Т_0i и записать их в таблицу.

5. Закрепить в рамке эталонное тело - металлический кубик (m = 952 г). Повторяя операции п. 2-4, определить 5-7 раз периоды колебаний Т_эi системы рамка-исследуемое тело. Полученные значения Т_хi записать в таблицу.

6. В рамке закрепить исследуемое твердое тело (по указанию преподавателя). По аналогии с операциями п. 2-5 определить 5-7 раз периоды колебаний Т_хi системы рамка-исследуемое тело. Полученные значения Т_хi записать в таблицу.

7. Штангенциркулем измерить 3-5 раз длину эталонного ребра кубика . Результаты измерений занести в таблицу.

8. Подставляя средние значения величин m, , T₀, T_э, T_x в расчетную формулу (10), вычислить момент инерции J_x исследуемого твердого тела.

9. По заранее подготовленной формуле, руководствуясь правилами нахождения погрешности в косвенных измерениях, вычислить погрешность J_x.