Лабораторная работа № 4 определение момента инерции тела при помощи крутильных колебаний

Целью работы является определение момента инерции диска путем сравнения периода его крутильных колебаний с периодом колебаний системы, состоящей из этого же диска и кольца.

ОПИСАНИЕ УСТАНОВКИ И МЕТОДА ИЗМЕРЕНИЙ

Как известно [1], моментом инерции тела относительно некоторой оси называется сумма моментов инерции его материальных точек относительно этой же оси, т.е.

(1)

где r - расстояние элемента тела с массой dm от оси вращения.

Схема установки представлена на рисунке, изображенном ниже.

Рис. 1

Если к диску (или к системе диск-кольцо) приложить пару сил в горизонтальной плоскости, то система повернется на некоторый угол , а затем вследствие упругости проволоки, начнет совершать гармонические крутильные колебания, период которых определяется моментом инерции системы и модулем кручения проволоки.

Уравнение этих колебаний можно записать так:

(2)

где ₀ - циклическая частота колебаний, равная ,

k - модуль кручения проволоки.

Следовательно, период крутильных колебаний

(3)

Пусть Т₁ - период колебаний диска, подвешенного к проволоке (см. рисунок), тогда из выражения (3)

(4)

где J₁ - момент инерции диска.

Период колебаний Т₂ системы, состоящей из того же диска и кольца, положенного на диск, по аналогии можно определить формулой

(5)

где J₂ - момент инерции кольца относительно оси вращения, проходящей через его геометрический центр перпендикулярно его плоскости (т.е. относительно проволоки).

Значение момента инерции кольца J₂ вычисляется по формуле

(6)

где m - масса кольца,

R и r - соответственно его внешний и внутренний радиусы.

Деля выражение (4) и (5) друг на друга, получим

(7)

Учитывая в этом выражении значение момента инерции J₂ из формулы (6), находим для момента инерции диска

Так как при выполнении работы фактически измеряются не радиусы R и r, а соответствующие диаметры D и d, то последнее выражение лучше представить в виде

(8)

Соотношение (8) является окончательным расчетным выражением данной работы.

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

1. Снять разрезное кольцо с диска. Осторожно, стараясь не отклонять проволоку от вертикали, повернуть диск к горизонтальной плоскости на угол примерно 90⁰ и отпустить его. Диск начнет совершать гармонические колебания. Измерить по секундомеру время t₁, за которое диск совершает n полных колебаний (взять n = 20). Измеряемый период колебаний диска Т₁ = t₁/n. Измерения периода колебаний Т₁ повторить до получения пяти его значений. Полученные результаты занести в таблицу результатов измерений.

Примечание. Отсчет времени t₁ по секундомеру следует начинать после того, как диск совершит три-четыре первых колебания, в течение которых они выходят на установившийся режим.

2. Положить кольцо на диск так, чтобы их оси вращения совпадали (см. рис. 1). Повернуть руками систему на угол 90⁰ и, отпустив ее, определить период колебаний системы Т₂ = t₂/n (n = 20). Повторить измерения периода Т₂ до пяти раз и полученные значения T_2i занести в таблицу результатов измерений.

Таблица

Номер опыта	Т1i, с	Т1i, с	(Т1i)2, с2	Т2i, с	Т2i, с	(Т2i)2, с2

D =  , d =  , m = 

3. Измерить штангенциркулем внешний D и внутренний d диаметры кольца. Полученные (однократные) измерения этих величин указать с их погрешностями рядом с таблицей, как показано выше.

4. Подставив средние значения измеренных величин в соответствие (8), вычислить предварительный результат для момента инерции диска J₁ с точностью до трех значащих цифр.

5. Вычислить доверительные погрешности измеренных значений каждой из величин, т.е. подсчитать Т₁,  Т₂, D и d (D = d) для доверительной вероятности Р = 0,68. Погрешность массы кольца m, как и само ее значение, указаны на установке.

6. По рабочей формуле относительной погрешности, подготовленной заранее, вычислить с точностью до двух значащих цифр значение относительной погрешности E(J₁) = J₁/J₁ и из этой формулы найти доверительную погрешность результатов измерений J₁ =J₁  Е(J₁) c доверительной вероятностью Р = 0,68. Полученное значение погрешности J₁ округлить до одной значащей цифры.

7. Округлив предварительный результат, записать его окончательное выражение в виде

Р = 0,68.

Сделать необходимые заключения и выводы в письменном виде.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Как определить момент инерции материальной точки, тела?

2. В каких единицах измеряется момент инерции?

3. Сформулируйте основной закон динамики вращательного движения твердых тел?

4. Какие свойства тел характеризует их момент инерции?

5. Напишите уравнение гармонического колебания.

1. Савельев И.В. Курс общей физики. - М.: Наука, 1982, т. 1, §38,39,50.

2. Гусев Г.В., Буркова Л.А. Учебное пособие. Обработка и анализ результатов лабораторного физического эксперимента. - СПб.: СПГУТД, 1995.