Теорема гюйгенса-штейнера

Найдем связь между моментами инерции тела относительно двух различных параллельных осей. Пусть эти оси О и А перпендикулярны к плоскости рис. 1 и пересекают ее в точках О и А.

Разобьем мысленно тело на элементарные массы dm. Радиусы- векторы одной из них, проведенные от осей О и А и параллельные плоскости рисунка, обозначим соответственно, тогда . Следовательно,

Рис.2

Интеграл слева есть момент инерции тела относительно оси А, первый интеграл справа - момент инерции относительно оси О. Таким образом,

(5)

Последний интеграл можно представить в виде

,

где -радиус - вектор центра масс С тела относительно оси О. Пусть ось О проходит через центр масс С тела. Тогда =0, и (5) упрощается, принимая вид формулы

, (6)

в которой обозначили через J_с - момент инерции относительно центра масс тела. Это соотношение называется теоремой Гюйгенса- Штейнера. Момент инерции тела относительно какой-либо оси равен моменту инерции его относительно параллельной оси, проходящей через центр масс, сложенному с величиной , где - расстояние между осями.

ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ ПРОВЕРКА

ТЕОРЕМА ГЮЙГЕНСА-ШТЕЙНЕРА

Из формулы (4) следует, что период колебаний математического маятника связан с его моментом инерции, который, как это видно из теоремы Гюйгенса-Штейнера (6) зависит от расстояния между центром масс маятника и его точкой подвеса (отметим, что d = ). Поэтому, если взять математический маятник с известным моментом инерции J_c , то отношение периодов колебаний для различных d можно рассчитать по формуле

=b_рас. (7)

С другой стороны, величина b находится экспериментально из измерений периодов колебаний физического маятника с J_c для различных d. Совпадение рассчитанного значения b с измеренным экспериментально в пределах доверительной погрешности будет указывать на справедливость теоремы Гюйгенса-Штейнера.

Методика измерения

В работе используется цилиндр с моментом инерции , где m - масса цилиндра, R - его радиус. В цилиндре параллельно его оси просверлены отверстия на различном расстоянии d от его оси симметрии рис. 3.

R

d₁

d₂

Рис. 3

Цилиндр одевается на расстоянии d₁ на стержень, закрепленный на штативе. Приводится в колебательное движение и измеряется период колебаний T₁ (50.-.70 колебаний). Затем берется расстояние d₂ и измеряется период T₂. Находится экспериментальное отношение T₁/T₂ = b_экс.. Это значение сравнивается с вычисленным по формуле

. (8)

РАСЧЕТ ДОВЕРИТЕЛЬНОЙ ПОГРЕШНОСТИ

Для того, чтобы вывести формулу погрешности для b_рас., необходимо взять дифференциал от выражения (8) по трем переменным: d₁, d₂, R

(9)

Экспериментальная погрешность находится следующим образом:

(10)

Расчет d₁, d₂, R, t_., а также доверительной вероятности P производить в соответствии с теорией погрешностей.

Контрольные вопросы

1. Что такое момент инерции тела?

2. Сформулируйте теорему Гюйгенса-Штейнера.

3. Увеличится ли энергия маховика, если сместить ось вращения параллельно его оси симметрии?

4. Почему балансируют колеса машин?

1. Савельев И.В. Курс общей физики. Механика. Молекулярная физика. - М.: Наука. 1982. Т. 15

2. Яворский Б.М., Детлаф А.А. Справочник по физике.-М.: Наука, 1971. - С.71-72.

3. Сивухин Д.В. Общий курс физики. Механика. - М.: Наука. 1979.

4. Гусев Г.В., Буркова Л.А. Учебное пособие. Обработка и анализ результатов лабораторного физического эксперимента. - СПб.: СПГУТД, 1995.

Составитель проф. К.Г. Иванов