Лабораторная работа № 30 определение момента инерции твердго тела и проверка основного закона динамики вращательного движения

Вращательным движением твердого тела называется такое движение, при котором все точки тела описывают окружности, центры которых лежат на одной прямой, являющейся осью вращения.

Основной закон динамики вращательного движения записывается в виде

(1)

где - результирующий момент внешних сил, действующих на тело; - угловое ускорение тела, J - момент инерции тела.

Проектируя уравнение (1) на ось Z, получим

(2)

где M_z - результирующий момент внешних сил относительно оси Z; _z - угловое ускорение тела при вращении относительно оси Z; J_z - момент инерции тела относительно оси Z.

Момент инерции тела в динамике вращательного движения играет такую же роль, как и масса тела в динамике поступательного движения, то есть является мерой инерции тела при вращении.

Величина момента инерции тела зависит не только от массы тела, но и от ее распределения относительно оси вращения. В простейшем случае, когда вокруг оси на расстоянии r вращается материальная точка массы m, момент инерции ее относительно этой оси равен

(3)

Момент инерции твердого тела числено равен сумме моментов инерции всех его точек

(4)

где r_i - расстояние от материальной точки массы m_i до оси вращения, а суммирование идет по всем материальным точкам, на которые условно разбивается тело.

Момент инерции тел правильной геометрической формы в некоторых случаях легко рассчитать. На практике момент инерции тела можно найти экспериментально, пользуясь уравнением (2).

Из основного закона динамики вращательного движения следует, что угловое ускорение _z, вызываемое моментом вил М_z, обратно пропорционально моменту инерции J_z. Если к телам с различными моментами инерции относительно данной оси приложить один и тот же момент сил М_z, то отношение угловых ускорений будет обратно пропорционально моментам инерции этих тел относительно данной оси

(5)

Целью данной работы является определение моментов инерции крестообразного маятника и экспериментальная проверка основного закона динамики вращательного движения.

ОПИСАНИЕ УСТАНОВКИ И МЕТОДА ИЗМЕРЕНИЙ

В данной работе используется крестообразный маятник, упрощенная схема которого представлена на рис. 1. Крестовина, нагруженная четырьмя равными массами m₁, может вращаться вокруг оси Z, перпендикулярной к плоскости рисунка. Вращающий момент М, приводящий крестовину в состояние ускоренного вращательного движения, создается силой натяжения нити, намотанной на шкив радиуса r.

Сила отлична от нуля до тех пор, пока груз массой m, не достигнет ограничительной площадки, находящейся на расстоянии Н от начального положения груза (рис. 2).

Рис. 1 Рис. 2

Нетрудно показать, что момент инерции крестообразного маятника Обербека можно найти из эксперимента, если известны масса груза m, радиус шкива r, перемещение груза Н и время перемещения t. Для этого рассмотрим динамику поступательного движения груза и вращательного движения маятника, учтя, что эти два элемента механической системы, в которую входит еще и Земля, движутся согласованно из-за связывающей их нити.

Запишем основной закон динамики поступательного движения для груза

В проекции на ось У

откуда

(6)

Так как или T = T’, то момент силы относительно оси вращения равен

(7)

где r - радиус шкива.

Угловое ускорение крестовины _z равно ускорению шкива и связано с линейным ускорением точки, находящейся на его ободе, формулой

(8)

Подставляя найденные значения M_z и _z из равенства (7) и (8) в формулу (2), получим

(9)

Линейное ускорение движущегося груза m можно найти применив формулу кинематики равноускоренного движения, учтя, что начальная скорость равна нулю

(10)

где t - время движения груза m от начала движения до ограничительной площадки.

Из формулы (10)

(11)

Подставляя (11) в (9), получим

(12)

По формуле (12) можно рассчитать момент инерции крестообразного маятника, измерив высоту Н, время падения груза t, радиус шкива r и массу груза m.

Для проверки основного закона динамики вращательного движения следует определить момент инерции маятника для двух положений грузов m₁, прилагая к системе один и тот же вращающий момент. Для этого грузы m₁ устанавливают в двух фиксированных одинаковых для всех четырех грузов положениях, для которых определяют моменты инерции системы J₁ и J₂. В этом случае будет выполняться соотношение (5).

Помня, что

где и - линейные ускорения груза массы m, которые согласно формуле (11) определяются:

получим отношение J_{1 z}/J_{2 z}. С учетом того, что момент инерции груза m относительно Z гораздо меньше момента инерции маятника, искомое отношение будет равно

(13)

Таким образом, проверка основного закона динамики вращательного движения сводится к проверке выполнения равенства (13).

Схема экспериментальной установки представлена на рис. 3.

Рис. 3

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

1. При всех выключенных кнопках на пульте установки включают вилку в электрическую сеть.

2. Помещают грузы m₁ на расстоянии R₁ (положение А от центра маятника, см. рис. 3).

3. Устанавливают чашечку с грузом m на определенной высоте, одновременно включая кнопку “Сеть”, тем самым включается электромагнит, фиксирующий положение маятника и груза. Затем нажимают кнопку “Сброс”.

4. Нажимают кнопку “Пуск” и держат ее нажатой до тех пор, пока чашечка не коснется упорной площадки. Затем записывают показания секундомера и ВЫКЛЮЧАЮТ кнопку “Сеть”. Пункты 3 и 4 повторяют 5-7 раз.

5. Радиус шкива r определяют штангенциркулем.

6. Подставляя t, m и r в формулу (12), определяют момент инерции маятника J₁.

7. Помещают грузы m₁ на расстоянии R₂ (положение В от центра маятника). При этом чашечка устанавливается на той же высоте и с тем же самым грузом массой m. Определяют время движения груза m 5-7 раз и находят момент инерции маятника J₂.

8. Зная J₁ и J₂, проверяют соотношение (13).

9. Определяют погрешность измерения.

10. Погрешность для J₁ и J₂ подсчитывают по правилам вычисления погрешностей косвенных измерений.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Что такое момент инерции тела и какую роль он играет во вращательном движении?

2. Как определяется момент инерции твердого тела?

3. Как выражается основной закон динамики вращательного движения?

4. Выведите рабочую формулу для расчета момента инерции крестообразного маятника, используя закон сохранения энергии.

5. Выразите основной закон динамики вращательного движения через импульс момента сил, действующих на тело.

6. Можно ли для данной установки расчетную формулу (12) заменить приближенной формулой:

7. Какие ошибки, в основном, определяют точность экспериментального измерения момента инерции маятника в данной работе?

1. Савельев И.В. Курс общей физики. - М.: Наука, 1982, т. 1, §38, 39, 50.

2. Гусев Г.В., Буркова Л.А. Учебное пособие. Обработка и анализ результатов лабораторного физического эксперимента. - СПб.: СПГУТД, 1995.