3.2. Метод Зейделя.

Метод Зейделя отличается от метода Якоби тем, что вычисления ведутся не по формулам (3.3), а по следующим формулам:

x₁^(k+1) =f₁(x₁^(k),x₂^(k),x₃^(k),....,x_n^(k))

x₂^(k+1) =f₂(x₁^(k+1),x₂^(k),x₃^(k),....,x_n^(k))

. . . . . . . . . . . (3.5)

x_n^(k+1) =f_n(x₁^(k+1),x₂^(k+1),x₃^(k+1),...,x_n^(k)).

При решении систем нелинейных уравнений необходимо определить приемлемое начальное приближение. Для случая двух уравнений с двумя неизвестными начальное приближение находится графически.

Сходимость метода Зейделя (Якоби тоже) зависит от вида функции в (3.2), вернее она зависит от матрицы составленной из частных производных:

f₁₁ f₁₂ f₁₃ ... f_1n

F = f₂₁ f₂₂ f₂₃ ... f_2n

. . . . . . . . . . . (3.6)

f_n1 f_n2 f_n3 ... f_nn

где f_ij = f_i(x₁,x₂,...x_n)/x_j.

Итерационный процесс сходится, если сумма модулей каждой строки F меньше единицы в некоторой окрестности корня:

f_i1f_i2f_i3....f_in ; i=1, 2, 3, ..., n

_n

или max f_ij .

^{1in j =1}

Пример: Найти решение системы (3.7) методом Зейделя с точностью =0,001.

F(x,y)=2sin(x+1)-y-0.5 = 0

(3.7)

G(x,y)=10cos(y-1)-x+0.4 = 0

Решение: Представим (3.7) в виде (3.5):

x = f₁(x,y) = x-(2sin(x+1)-y-0,5)/M₁

(3.8)

y = f₂(x,y) = y-(10cos(y-1)-x+0,4)/M₂

Строим графики кривых системы (3.7) и определяем начальные приближения x₀=-1, y₀=-0,7.

Запишем достаточное условие сходимости и определяем M₁, M₂:

f_1x f_1y 1-2cos(x+1)/ M₁ 1/ M₁

F = =

f_2x f_2y -1/M₂ 1+10sin(y-1)/M₂

1-2cos(x₀+1)/M₁+1/M₁ и -1/M₂+1+10sin(y₀-1)/M₂ ,

1-2cos(1-1)/M₁+1/M₁ и -1/M₂+1+10sin(-0,7-1)/M₂ ,

1-2/M₁+1/M₁   и -1/M₂+ 1-9,91665/M₂ ,

Определяем частные значения M₁=2, M₂=10, которые удовлетворяют неравенствам

1-2/2+1/2   и 1/10+ 1-9,91665/10  ,

Переходим к реализации итерационного процесса:

x_k+1 = x_k-(2·sin(x_k+1)-y_k-0,5)/2

y_k+1 = y_k-(10·cos(y_k -1)-x_k+1+0,4)/10

x₁=x₀-(2·sin(x₀+1)-y₀-0,5)/2= -1-(2·sin(-1+1)+0,7-0,5)/2=-1,1

y₁=y₀-(10·cos(y₀-1)-x₁+0,4)/10=

=-0,7-(10·cos(-0,7-1)+ 1,1+0,4)/10=-0,72116

x₂=x₁-(2·sin(x₁+1)-y₁-0,5)/2=

=-1,1-(2·sin(-1,1+1)+ 0,72116-0,5)/2=-1,11075

y₂=y₁-(10·cos(y₁-1)-x₂+0,4)/10=

=-0,72116-(10·cos(-0,72116-1)+1,11075+0,4)/10=-0,72244

x₃=x₂-(2·sin(x₂+1)-y₂-0,5)/2=

=-1,11075-(2·sin(-1,11075+1)+ 0,72244-0,5)/2=-1,11145

y₃=y₂-(10·cos(y₂-1)-x₃+0,4)/10=

=-0,72244-(10*cos(-0,72244-1)+1,11145+0,4)/10=-0,72252

Определяем погрешность по формуле

maxx_i^(k+1) -x_i^(k) .

^1in

x₃ -x₂  -1,11145+1,11075= 0,0007 =0,001

y₃ - y ₂  -0,72252+0,72244= 8E-05 =0,001

Таким образом, имеем решение: x =-1,11145; y =-0,72252.

Программа, реализующая решение данной задачи, представлена на рис.3.2.

CLS

REM LR-3-2, m=13, n=5