Input X,y, m1,m2

1 X=X-(2*SIN(X+1)-Y - 0.5)/M1

Y=Y-(10*COS(Y-1)-X+0.4)/M2

PRINT X,Y

Input tt

GOTO 1

END

Рис.3.2. Программа решения методом Зейделя.

3.3. Метод Ньютона.

Основная идея метода Ньютона состоит в выделении из уравнений системы линейных частей, которые являются главным при малых приращениях аргументов. Это позволяет свести исходную задачу к решению последовательности систем линейных уравнений.

Рассмотрим систему двух нелинейных уравнений с двумя неизвестными вида:

F(x, y)=0

G(x, y)=0 (3.9)

Пусть известно некоторое приближение x_k,y_k корня x,y. Тогда поправки x_k=x_k+1-x_k, y_k+y_k+1-y_k можно найти решая систему:

F(x_k+x_k, y_k+y_k)=0

G(x_k+x_k, y_k+y_k)=0. (3.10)

Для этого разложим функции F, G в ряд Тейлора по x_k, y_k. Сохранив только линейные по x_k, y_k части, получим систему линейных уравнений:

F(x_k,y_k) F(x_k,y_k)

 x_k +  y_k = - F(x_k,y_k)

x y

(3.11)

G(x_k,y_k) G(x_k,y_k)

 x_k +  y_k = - G(x_k,y_k)

x y

относительно неизвестных поправок x_k и y_k. Решая эту систему линейных уравнений, определяем значения x_k, y_k.

Таким образом, решение системы уравнений по методу Ньютона состоит в построении итерационной последовательности:

x_k+1 =x_k +x_k

y_k+1 =y_k +y_k (3.12)

где x_k, y_k - решения систем линейных уравнений, вида (3.11) на каждом шаге итерации.

В методе Ньютона также для обеспечения хорошей сходимости важен правильный выбор начального приближения.

Пример: Найти решение системы (3.7) методом Ньютона с точностью =0,001.

F(x,y)=2·sin(x+1)-y-0.5 = 0

G(x,y)=10·cos(y-1)-x+0.4 = 0 (3.13)

методом Ньютона, при этом добиться точности  0.001.

Решение: Начальные приближения x₀=-1 и y₀=-0,7. Определим частные производные:

F(x, y) F(x, y)

 = 2·cos(x+1);  = -1;

x y

G(x, y) G(x, y)

  -1;  = -10·sin(y-1).

x y

и используя (3.11), построим систему линейных уравнений относительно поправок

2·cos(x₀+1) · x₀ -1 · y₀ = - 2·sin(x₀+1)+y₀+0.5

-1· x₀ -10·sin(y₀ -1) · y₀ = - 10·cos(y₀ -1)+x₀ -0.4

Подставляя начальные приближения x₀=-1; y₀=-0,7 и решая систему линейных уравнений определяем поправки на первом шаге итерации

x₀=-0,1112 y₀=-0,0225

Далее начальное приближение уточняем по формулам (3.12)

x₁ =x₀ +x₀= - 1 - 0,1112 = - 1,1112

y₁ =y₀ +y₀= - 0,7 - 0,0225= - 0,7225

Подставляя результаты первой итерации x₁=-1,1112; y₁=-0,7225 и решая систему линейных уравнений

2·cos(x₁+1) · x₁ -1 · y₁ = - 2·sin(x₁+1)+y₁+0.5

-1· x₁ -10·sin(y₁ -1) · y₁ = - 10·cos(y₁ -1)+x₁ -0.4

определяем поправки на втором шаге итерации

x₁=0,00026 y₁=0,00004

Далее x₁ и y₁ уточняем по формулам (3.12)

x₂ =x₁ +x₁= -1,1112+0,00026= - 1,1115

y₂ =y₁ +y₁=-0,7225+0,00004= - 0,7225

Определяем погрешность по формуле

maxx_i^(k+1) -x_i^(k) .

^1in

x₂ -x₁  или x₁  0,00026 =0,001

y₂ - y₁  или y₁  0,00004 =0,001

Таким образом имеем решение: x = - 1,1115; y = - 0,7225.

Программа реализующая метод Ньютона для указанной задачи представлена на рис. 3.3.

REM LR-3-3, m=13, n=5