2.3. Метод простой итерации (метод Якоби).

Суть вычислений итерационными методами состоит в следующем: расчет начинается с некоторого заранее выбранного приближения x⁽⁰⁾ (начального приближения). Вычислительный процесс, использующий матрицу А, вектор В, системы (2.1) и x⁽⁰⁾ приводит к новому вектору x⁽¹⁾:

_{i-1 n}

x_i⁽¹⁾ =(b_i - a_ij x_j⁽⁰⁾ -  a_ij x_j⁽⁰⁾) / a_ij ;

^{j=1 j=i+1} (2.11)

i=1, 2, 3, ..., n; j =1, 2, 3, ..., n.

Затем процесс повторяется, только вместо x⁽⁰⁾ используется новое значение x⁽¹⁾. На k +1-м шаге итерационного процесса по A,B,X получают:

_{i-1 n}

x_i^(k+1) =(b_i -  a_ij x_j^(k) -  a_ij x_j^(k)) / a_ij ;

^{j=1 j=i+1} (2.12)

i=1, 2, 3, ..., n; j =1, 2, 3, ..., n.

При выполнении некоторых заранее оговоренных условий процесс сходится при k. Сходимость метода простой итерации обеспечивается при выполнении условия преобладания диагональных элементов матрицы A, т.е. при:

a_ija_ii; i=1, 2, 3, ..., n. (2.13)

^ij

Заданная точность достигается при выполнении условия:

maxx_i^(k+1) - x_i^(k)  (2.14)

^1in

Пример: Преобразовать систему уравнений:

7x₁ + 4x₂ -x₃= 7

2x₁+6x₂+3x₃=-2 (2.15)

-x₁+ x₂ + 4x₃=4

к виду, пригодному для построения итерационного процесса методом Якоби и выполнить три итерации.

Решение: Достаточное условие сходимости (2.13) выполняется, поэтому начальное приближение может быть любым.

a₁₂a₁₃4+1a₁₁7

a₂₁a₂₃2+3a₂₂6

a₃₁a₃₂1+1a₃₃4

В i-ом уравнении все члены, кроме x_i, переносятся в правую часть:

x₁ =(7-4x₂+x₃)/7

x₂ =(-2-2x₁-3x₃)/6 (2.16)

x₃ =(4+x₁-x₂)/4

Задается начальное приближение x⁽⁰⁾=(x₁⁽⁰⁾; x₂⁽⁰⁾; x₃⁽⁰⁾), которое подставляется в правую часть. Обычно x₁⁽⁰⁾=0, x₂⁽⁰⁾=0, x₃⁽⁰⁾=0 и получают результаты первой итерации:

x₁⁽¹⁾ =(7-4·0+0)/7 =1

x₂⁽¹⁾ =(-2-2·0-3·0)/6 =-1/3 = - 0.333

x₃⁽¹⁾ =(4+0-0)/4 =1.

Результаты первой итерации x⁽¹⁾=(x₁⁽¹⁾; x₂⁽¹⁾; x₃⁽¹⁾) подставляют в правую часть и получают результаты второй итерации:

x₁⁽²⁾ =(7-4· (-0.333)+1)/7 = 4/3= 1.333

x₂⁽²⁾ =(-2-2·1-3·1)/6 = -7/6 = - 1.167

x₃⁽²⁾ =(4+1-(-1/3))/4 = 4/3 = 1.333

Результаты второй итерации x⁽²⁾=(x₁⁽²⁾; x₂⁽²⁾; x₃⁽²⁾) подставляют в правую часть и получают результаты третьей итерации:

x₁⁽³⁾ =(7-4· (-1.167)+1.333)/7 = 1.857

x₂⁽³⁾ =(-2-2·1.333-3·1.333)/6 = - 1.444

x₃⁽³⁾ =(4+1.333-(-1.167))/4 = 1.625

Определяют достигнутую точность из условия:

max x_i⁽³⁾ - x_i⁽²⁾  .

^1i3

x₁⁽³⁾ - x₁⁽²⁾ = 1.857-1.333= 0.524

x₂⁽³⁾ - x₂⁽²⁾ = - 1.444+ 1.167= 0.278

x₃⁽³⁾ - x₃⁽²⁾ = 1.625-1.333= 0.292