I XI xi2 xi3 xi4 yi xiyi xi2yi

1 -2 4 -8 16 6 -12 24

2 -1 1 -1 1 2 -2 2

3 0 0 0 0 -1 0 0

4 1 1 1 1 -2 -2 -2

5 2 4 8 16 -1 -2 -4

0 10 0 34 4 -18 20

Тогда система линейных уравнений (4.8) относительно значений a, b, c примет вид:

34 a+ 0 b+10 c= 20

0 a+10 b+ 0 c= -18 (4.9)

10 a+ 0 b+ 5 c = 4

Решая систему (4.9) получим следующие значения параметров a=0.857; b=-1.8; c=-0.914. Таким образом, искомый полином имеет вид:

y=0.857 x² - 1.8 x - 0.914.

Таблица 4.3

i x_i y_i y_i (y_i - y_i)²

1 -2 6 6.114 0.012

2 -1 2 1.743 0.066

3 0 -1 -0.914 0.007

4 1 -2 -1.857 0.020

5 2 -1 -1.086 0.007

По таблице 4.3 можно определить сумму квадратов отклонений экспериментальных данных y_i от расчетных y_i S=0.112.

Каким образом можно уменьшить погрешность S ? Для этого необходимо увеличить число коэффициентов полинома y_. Это приведет к увеличению размерности системы. Таким образом, стараясь улучшить расчеты, т.е. уменьшить погрешность, приходится увеличивать объем вычислений.

4.2. Интерполяционный полином

в форме Лагранжа.

При решении дифференциальных, интегральных уравнений численными методами вместо искомой функции, обычно, определяют ее значения в узлах. На следующем этапе проводят интерполирование функций, т.е. восстановление функции по заданным узлам, замену графически заданной функции аналитической. Интерполяция интересует нас главным образом как один из способов построения многочлена, приближающего функцию на данном отрезке.

Пусть на некотором промежутке [a,b] заданы n различных узлов x₁,x₂,x₃, ..., x_n, а также значения некоторой функции y₁,y₂,y₃, ..., y_n в этих узлах. Необходимо построить полином P(x), проходящий через заданные точки, т.е.

P(x_i)=y_i

Этот полином называется интерполяционным полиномом, является единственным полиномом степени не выше n-1, и может быть записан, например, в форме Лагранжа или Ньютона.

Интерполяционный полином Лагранжа имеет следующую формулу:

P(x)= L_n-1(x)= _i l_i(x), (4.10)

(x-x₁)...(x-x_i-1)(x-x_i+1)...(x-x_n)

где l_i(x) = 

(x_i-x₁)...(x_i-x_i-1)(x_i-x_i+1)...(x_i-x_n)

фундаментальные полиномы Лагранжа. Они удовлетворяют равенствам

1, если i = k

l_k(x_i) =  (4.11)

0, если i  k ,

и зависят лишь от заданных узлов x_i , но не от интерполируемой функции y_i .

Пример. Пусть задана таблица 4.4

Таблица 4.4

x _i -1 0 1/2 1

y_i 0 2 9/8 0

Необходимо построить интерполяционный полином Лагранжа, проходящий через заданные точки

L_n-1(x_i)=y_i , i=1,2,...,n.

Решение. Запишем фундаментальные полиномы Лагранжа:

(x-x₂)(x-x₃)(x-x₄) (x-0)(x-1/2)(x-1)

l₁(x)=  =  = - (x³-3/2 x²+1/2 x)/3,

(x₁-x₂)(x₁-x₃)(x₁-x₄) (-1-0)(-1-1/2)(-1-1)

(x-x₁)(x-x₃)(x-x₄) (x+1)(x-1/2)(x-1)

l₂(x)=  =  = 2(x³-1/2 x²- x+1/2),

(x₂-x₁)(x₂-x₃)(x₂-x₄) (0+1)(0-1/2)(0-1)

(x-x₁)(x-x₂)(x-x₄) (x+1)(x-0)(x-1)

l₃(x)=  =  = -8(x³- x)/3,

(x₃-x₁)(x₃-x₂)(x₃-x₄) (1/2+1)(1/2-0)(1/2-1)

(x-x₁)(x-x₂)(x-x₃) (x+1)(x-0)(x-1/2)

l₄(x)=  =  = 1(x³+1/2 x²- 1/2x).

(x₄-x₁)(x₄-x₂)(x₄-x₃) (1+1)(1-0)(1-1/2)

Например, для l₄(x) можно проверить свойство (5.2).

l₄(-1)=0, l₄(0)=0, l₄(1.2)=0, l₄(1)=1.

Подставляя l_i(x) в полином Лагранжа находим:

L₃(x)=y₁ l₁(x)+y₂ l₂(x)+y₃ l₃(x)+y₄ l₄(x) =

= 0 l₁(x)+2 l₂(x)+9/8 l₃(x)+0 l₄(x) = x³ - 2 x² - x + 2.