Input X, e

1 X=X- FNF(X)/FNP(X)

PRINT X, FNF(X)

IF ABS(FNF(X)/FNP(X))>E THEN 1

END

Рис. 1.5. Программа нахождения корней методом Ньютона.

1.3. Метод простой итерации.

Для использования этого метода исходное нелинейное уравнение F(x)=0 необходимо привести к виду x = (x).

В качестве (x) можно принять функцию (x) =x-F(x)/M, где M неизвестная постоянная величина, которая определяется из условия сходимости метода простой итерации (x)<1. При этом для определения M условие сходимости записывается в следующем виде:

1-F^’(x₀)/M <1 или M=1.01· F^’(x₀).

Если известно начальное приближение корня x=x₀, подставляя это значение в правую часть уравнения x=(x), получаем новое приближение x₁=(x₀).

Далее подставляя каждый раз новое значение корня в уравнение x=(x), получаем последовательность значений:

x₂=(x₁), x₃=(x₂),..., x_k+1= (x_k)..... k = 1,2,...,n.

Итерационный процесс прекращается, если результаты двух последовательных итераций близки, т.е. x_k+1 - x_k< .

Пример: Решить уравнение F(x)=x³+x-1=0 на отрезке [0;1] методом простой итерации c точностью =0.01.

Решение: Из условия сходимости

1-F(x₀)/M<1 или 1-(3x₀+1)/M<1,

при x₀=1 определяем M>4. Пусть M = 5.

Подставляя каждый раз новое значение корня в уравнение

x_k+1=x_k-(x_k³+x-1)/5,

получаем последовательность значений:

x₁=x₀-(x₀³+x₀-1)/5=1 - (1³+1-1) / 5 = 0,8

x₂ = x₁-(x₁³+x₁-1)/5=0,8 - (0,8³+0,8 -1) / 5 = 0,7376

x₃ =x₂-(x₂³+x₂-1)/5=0,7376 - (0,7376³+0,7376 -1) / 5 = 0,709821

x₄=x₃ -(x₃³+x₃-1)/5=0,709821- (0,709821³+0,709821-1) / 5 = 0,696329

x₅=x₄-(x₄³+x₄-1)/5=0,696329- (0,696329³+0,696329-1) / 5 = 0,689537

x₅ - x₄ = 0,689537- 0,696329 = 0,00679 < 0.01.

Геометрическая интерпретация метода простой итерации.

Построим графики функций y=x и y=(x). Корнем x^* уравнения x=(x) является абсцисса пересечения кривой y=(x) с прямой y=x ( см. рис. 1.6). Взяв, в качестве начальной точки точку x₀ строим, ломаную линию. Абсциссы вершин этой ломаной представляют собой последовательные приближения корня x^*. Из рисунка видно, что если -1<(x)<0 на отрезке [a, b] (рис. 1.6b), то последовательные приближения x_i+1 = (x_i) колебаются около корня. Если же производная 0<(x)<1 (рис. 1.6.а), то последовательные приближения сходятся монотонно.