2.4. Метод Зейделя.

Вычисления в этом методе почти такие же, как и в методе Якоби, с той лишь разницей, что в последнем новые значения x^(k+1) не используются до новой итерации. В методе Зейделя при нахождении k+1-ой компоненты используются уже найденные компоненты этой же итерации с меньшими номерами, т.е. последовательность итераций задается формулой:

_{i-1 n}

x_i^(k+1) =(b_i -  a_ij·x_j^(k+1) -  a_ij·x_j^(k))/a_ij;

^{j=1 j=i+1} (2.17)

i=1, 2, 3, ..., n; j =1, 2, 3, ..., n.

Сходимость и точность достигаются условиями (2.13) и (2.14).

Пример: Задать итерационный процесс Зейделя для нахождения решений системы уравнений (2.15).

Решение: Достаточное условие сходимости (2.13) выполняется, поэтому начальное приближение может быть любым.

Используя (2.16) получим:

x₁^(k+1) =(7-4x₂^(k) +x₃^(k))/7

x₂^(k+1) =(-2-2x₁^(k+1)-3x₃^(k))/6

x₃^(k+1) =(4+x₁^(k+1) -x₂^(k+1))/4.

После задания начального приближения x⁽⁰⁾=(x₁⁽⁰⁾; x₂⁽⁰⁾; x₃⁽⁰⁾), например, x⁽⁰⁾=(0; 0; 0) выражение для первой итерации имеет вид:

x₁⁽¹⁾ =(7-4x₂⁽⁰⁾ +x₃⁽⁰⁾)/7 =(7-4·0+0)/7 =1

x₂⁽¹⁾ =(-2-2x₁⁽¹⁾-3x₃⁽⁰⁾)/6 =(-2-2·1-3·0)/6 = - 0.667

x₃⁽¹⁾ =(4+x₁⁽¹⁾-x₂⁽¹⁾)/4 =(4+1-(-2/3))/4 =1.417

Результаты первой итерации x⁽¹⁾=(x₁⁽¹⁾; x₂⁽¹⁾; x₃⁽¹⁾) подставляют в правую часть и получают результаты второй итерации:

x₁⁽²⁾ =(7-4· (-0.667)+1.417)/7 = 1.583

x₂⁽²⁾ =(-2-2·1.583-3·1.417)/6 = - 1.569

x₃⁽²⁾ =(4+1.583-(-1.569))/4 = 1.788

Результаты второй итерации x⁽²⁾=(x₁⁽²⁾; x₂⁽²⁾; x₃⁽²⁾) подставляют в правую часть и получают результаты третьей итерации:

x₁⁽³⁾ =(7-4· (-1.1569)+1.788)/7 = 2.152

x₂⁽³⁾ =(-2-2·2.152-3·1.788)/6 = - 1.945

x₃⁽³⁾ =(4+2.152-(-1.945))/4 = 2.024

Точность решения определяют из условия:

max x_i⁽³⁾ - x_i⁽²⁾  .

^1i3

x₁⁽³⁾ - x₁⁽²⁾ = 2.152-1.583= 0.469

x₂⁽³⁾ - x₂⁽²⁾ = - 1.945+ 1.569= 0.376

x₃⁽³⁾ - x₃⁽²⁾ = 2.024-1.788= 0.236

3. Численные методы решения систем

нелинейных уравнений.

Требуется решить систему нелинейных уравнений вида:

F₁(x₁,x₂,x₃,...,x_n) = 0

F₂(x₁,x₂,x₃,...,x_n) = 0

. . . . . . . . . . . (3.1)

F_n(x₁,x₂,x₃,...,x_n) = 0

3.1. Метод простой итерации (метод Якоби).

Систему нелинейных уравнений (3.1) после преобразований

x_i =x_i - F_i(x)/M_i ; i=1, 2, 3, ..., n

(здесь M_i определяются из условия сходимости), представим в виде:

x₁ =f₁(x₁,x₂,x₃,...,x_n)

x₂ =f₂(x₁,x₂,x₃,...,x_n)

. . . . . . . . . . . (3.2)

x_n =f_n(x₁,x₂,x₃,...,x_n)

Из системы (2.3) легко получить итерационные формулы метода Якоби. Возьмем в качестве начального приближения какую-нибудь совокупность чисел x₁⁽⁰⁾,x₂⁽⁰⁾,...,x_n⁽⁰⁾. Подставляя их в правую часть (3.2) вместо переменных x₁,x₂,...,x_n получим новое приближение к решению исходной системы:

x₁⁽¹⁾ =f₁(x₁⁽⁰⁾,x₂⁽⁰⁾,x₃⁽⁰⁾,...,x_n⁽⁰⁾)

x₂⁽¹⁾ =f₂(x₁⁽⁰⁾,x₂⁽⁰⁾,x₃⁽⁰⁾,...,x_n⁽⁰⁾)

. . . . . . . . . . . (3.3)

x_n⁽¹⁾ =f_n(x₁⁽⁰⁾,x₂⁽⁰⁾,x₃⁽⁰⁾,...,x_n⁽⁰⁾)

Эта операция получения первого приближения x₁⁽¹⁾,x₂⁽¹⁾,...,x_n⁽¹⁾ решения системы уравнения (3.2) называется первым шагом итерации. Подставляя полученное решение в правую часть уравнения (3.2) получим следующее итерационное приближение: (x₁⁽²⁾,x₂⁽²⁾,...,x_n⁽²⁾) и т.д.

Итерационный процесс можно считать законченным, если все значения переменных, полученных k+1-ой итерации, отличается от значений соответствующих переменных, полученных от предыдущей итерации, по модулю меньше наперед заданной точности , т.е. если:

maxx_i^(k+1) -x_i^(k) . (3.4)

^1in