Input X, y

1 F = 2*SIN(X+1)-Y - 0.5

G = 10*COS(Y-1)-X+0.4

Fx =2*COS(X+1)

Fy =-1

Gx =-1

Gy =-10*SIN(Y-1)

D = Fx*Gy- Gx*Fy

DX=(G*Fy-F*Gy)/D

DY=(F*Gx-G*Fx)/D

X =X+DX

Y =Y+DY

PRINT X;Y; F;G;DX;DY;

Input tt

GOTO 1

END

Рис.3.3. Программа, реализующая метод Ньютона

4.1. Приближение функции по методу наименьших

квадратов (МНК).

Очень часто в практической работе возникает необходимость найти в явном виде функциональную зависимость между величинами x и y, которые получены в результате измерений.

Как правило, общий вид этой функциональной зависимости или так называемой эмпирической формулы известен, а некоторые числовые параметры закона неизвестны.

Процесс выражения опытных данных функциональной зависимостью с помощью метода наименьших квадратов состоит из двух этапов: на первом этапе выбирают вид искомой формулы, а на втором этапе для формулы подбирают параметры. Для первого этапа удобно графическое представление этой зависимости и по ней выбрать вид возможной зависимости во втором этапе, в соответствии с идеей МНК, необходимо минимизировать сумму отклонений:

S = (y(x_i)-y_i)² (4.1)

где x_i, y_i - значения опытных данных y(x_i) - значение функции, вычисленное в точке x_i ; n - число опытов.

В случае линейной эмпирической формулы (4.1) принимает вид:

S(a,b) = (ax_i + b - y_i)²  min (4.2)

Функция (4.2) имеет минимум в точках, в которых частные производные от S по параметрам a и b обращаются в нуль, т.е.

S(a,b)/a=0, S(a,b)/b=0 (4.3)

2(a x_i+ b - y_i) x_i = 0

2(a x_i+ b - y_i) = 0

a x_i² + b x_i = x_i y_i

a x_i + b n = y_i (4.4)

Решая систему уравнений (4.4), получим значения a и b уравнения y=ax+b.

Пример: Подобрать аппроксимирующий полином первой степени y=ax+b для данных

x_i 0 1 2 3

y_i 0.1 0.9 2.1 3

Решение: Для удобства вычисленные значения расположим в таблице.

Таблица 4.1

I XI xi2 yi xiyi

1 0 0 0.1 0

2 1 1 0.9 0.9

3 2 4 2.1 4.2

4 3 9 3 9

6 14 5.1 14.1

Система для определения коэффициентов имеет вид:

14 a + 6 b = 14.1

6 a + 4 b = 5.1 (4.5)

Решая систему (4.5), получим следующие значения параметров a=1.29; b=-0.675. Следовательно, искомый полином имеет вид y= 1.29 x - 0.67.

В случае квадратичной зависимости (4.1) принимает вид:

S(a,b,c) = (ax_i² + bx_i + c - y_i)²  min (4.6)

Функция (4.6) имеет минимум в точках, в которых частные производные от S по параметрам a, b, c обращаются в нуль:

S(a,b,c)/a=0, S(a,b,c)/b=0, S(a,b,c)/c=0 (4.7)

В результате дифференцирования и элементарных преобразований для определения параметров получают систему линейных уравнений:

S(a,b,c)/a = 2 (ax_i² + bx_i + c - y_i) x_i²=0

S(a,b,c)/b = 2 (ax_i² + bx_i + c - y_i) x_i=0

S(a,b,c)/c = 2 (ax_i² + bx_i + c - y_i) *1=0

Система линейных уравнений состоит из трех уравнений с тремя неизвестными:

a x_i⁴ + b x_i ³ + c x_i² = x_i² y_i

a x_i³ + b x_i ² + c x_i = x_i y_i (4.8)

a x_i² + b x_i + c n = y_i

Решая систему линейных уравнений (4.8) получим значения a, b, c уравнения y=ax²+bx+c.

Пример: Используя МНК построить эмпирическую зависимость y=ax²+bx+c, аппроксимирующую следующие табличные значения:

x_i -2 -1 0 1 2

y_i 6 2 -1 -2 -1

Решение: Расчеты представим в виде таблицы 4.2.

Таблица 4.2