МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АРХИТЕКТУРНО-СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Кафедра прикладной математики

Методические указания

к лабораторным и самостоятельным работам

по курсам «Информатика» и «Вычислительная математика»

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ

Часть 1

Казань

2011

УДК 621.313: 518.6

Составители: Ф.Г.Ахмадиев, Ф.Г.Габбасов, Р.Ф.Гиззятов, И.В.Маланичев.

Методические указания к лабораторным и самостоятельным работам по курсам «Информатика» и «Вычислительная математика». Численные методы. Часть 1. / Казанский государственный архитектурно-строительный университет. Сост.: Ф.Г.Ахмадиев, Ф.Г.Габбасов, Р.Ф.Гиззятов, И.В.Маланичев. Казань, 2011. – 32 с.

Методические указания состоят из двух частей и предназначены для выполнения лабораторных и самостоятельных работ студентами всех специальностей и направлений подготовки дневного и заочного отделений. В данной части приводятся численные методы решения нелинейных уравнений, систем линейных и нелинейных уравнений.

Рецензент – Р.Б.Салимов, доктор физ.-мат. наук, профессор

Казанский государственный

 архитектурно-строительный

университет, 2011г.

1. Численное решение нелинейных уравнений.

Задана непрерывная функция . Требуется определить корни уравнения.

Такая задача встречается в различных областях научных исследований, в том числе и при расчетах строительных конструкций, организации и управлении строительным производством.

Нелинейные уравнения можно разделить на два класса - алгебраические и трансцендентные. Алгебраическими уравнениями называются уравнения, содержащие только алгебраические функции.

Уравнения, содержащие другие функции (тригонометрические, показательные, логарифмические и др.), называются трансцендентными.

Методы решения уравнений делятся на прямые и итерационные. Прямые методы позволяют записать корни в виде некоторого конечного соотношения. Если не удается решить уравнения прямыми методами, то для их решения используются итерационные методы, т.е. методы последовательных приближений. Алгоритм нахождения корня уравнения с помощью итерационного метода состоит из двух этапов:

а) отыскания приближенного значения корня или содержащего его отрезка;

б) уточнения значения до некоторой степени точности.

Приближенное значение корня (начальное приближение) может быть найдено различными способами из физических соображений, из решения аналогичной задачи при других исходных данных, с помощью графических методов. Если такие простые оценки исходного приближения произвести не удается, то находят две близко расположенные точки и, в которых непрерывная функцияпринимает значения разных знаков, т.е.. В этом случае между точкамииесть, по крайней мере, одна точка, в которой. В качестве начального приближения первой итерацииможно принять середину отрезка, т.е. .

Итерационный процесс состоит в последовательном уточнении . Каждый такой шаг называется итерацией. В результате итераций находятся последовательности приближенных значений корня,, …,. Если эта последовательность с ростом значенияприближается к истинному значению корня, то итерационный процесс сходится. Итерационный процесс продолжаем до тех пор, пока значение функциипосле-й итерации не станет меньшим по модулю некоторого заданного малого числа, т.е., и (или) по условию близости двух последних приближений:.