33

КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АРХИТЕКТУРНО-СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Кафедра прикладной математики

Методические указания

по курсу "Информатика"

для самостоятельной работы студентов

всех специальностей

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ

Часть 1

Казань

2008

Составители: Ф.Г.Ахмадиев, Ф.Г.Габбасов, И.Н.Гатауллин, Р.Ф.Гиззятов, Р.И.Ибятов, Х.Г.Киямов.

УДК 621.313: 518.6

Методические указания по курсу "Информатика" для самостоятельной работы студентов всех специальностей. Численные методы. Часть 1. /Казанский государственный архитектурно-строительный университет. Сост.: Ф.Г.Ахмадиев, Ф.Г.Габбасов, И.Н.Гатауллин, Р.Ф.Гиззятов, Р.И.Ибятов, Х.Г.Киямов. Казань, 2008. -35 с.

Методические указания состоят из двух частей и предназначены для самостоятельной работы студентов всех специальностей 2-го курса дневного и заочного отделений. В данной работе приводятся численные методы решения нелинейных уравнений, систем линейных и нелинейных алгебраических уравнений, дифференциальных уравнений, определенных интегралов, методы аппроксимации дискретных функций и методы решения задач линейного программирования.

Табл. 8, библиогр. назв. 6.

Рецензент - Р.Б.Салимов, доктор физ.-мат. наук, профессор

Казанский государственный

 архитектурно-строительный

университет, 2008г.

1. Численное решение нелинейных уравнений.

Задана непрерывная функция F(x). Требуется определить корни уравнения F(x)=0.

Такая задача встречается в различных областях научных исследований, в том числе и при расчетах строительных конструкций, организации и управлении строительным производством.

Нелинейные уравнения можно разделить на два класса - алгебраические и трансцендентные. Алгебраическими уравнениями называются уравнения, содержащие только алгебраические функции.

Уравнения, содержащие другие функции (тригонометрические, показательные, логарифмические и др.) называются трансцендентными.

Методы решения нелинейных уравнений делятся на прямые и итерационные. Прямые методы позволяют записать корни в виде некоторого конечного соотношения. Если не удается решить уравнения прямыми методами, то для их решения используются итерационные методы, т.е. методы последовательных приближений. Алгоритм нахождения корня уравнения с помощью итерационного метода состоит из двух этапов:

а) отыскания приближенного значения корня, или содержащего его отрезка;

б) уточнения значения до некоторой степени точности.

Приближенное значение корня (начальное приближение) может быть найдено различными способами из физических соображений, из решения аналогичной задачи при других исходных данных, с помощью графических методов. Если такие простые оценки исходного приближения произвести не удается, то находят две близко расположенные точки a и b, в которых непрерывная функция F(x) принимает значения разных знаков, т.е. F(a)•F(b)<0. В этом случае между точками a и b есть, по крайней мере, одна точка, в которой F(x)=0. В качестве начального приближения первой итерации x₀ можно принять середину отрезка [a, b], т.е. x₀=(a+ b)/2.

Итерационный процесс состоит в последовательном уточнении x₀. Каждый такой шаг называется итерацией. В результате итераций находятся последовательности приближенных значений корня x₀, x₁, ... , x_n. Если эта последовательность с ростом значения n приближается к истинному значению корня, то итерационный процесс сходится.