1 Input a, b, e

YA= FNF(A): YB=FNF(B)

IF YA*YB>0 THEN 1

2 X =(A+B)/2: Y=FNF(X)

PRINT X, Y

IF YA*Y<0 THEN B=X ELSE A=X

IF (B-A)>E THEN 2

END

Рис.1.3. Пример программы нахождения корней уравнения

методом деления отрезка пополам.

1.2. Метод Ньютона (метод касательных).

Суть метода состоит в том, что на k-й итерации в точке (x_k, F(x_k)) строится касательная к кривой y=F(x) и ищется точка пересечения касательной с осью абсцисс. При этом необязательно задавать отрезок [a, b], содержащий корень уравнения, а достаточно найти лишь некоторое начальное приближение корня x=x₀ (рис. 1.4). Если задан интервал изоляции корня [a,b], то за начальное приближение x₀ принимается тот конец отрезка, на котором

F(x₀)·F(x₀)> 0.

Уравнение касательной, проведенной к кривой y=F(x) в точке M₀ с координатами x₀ и F(x₀), имеет вид:

y - F(x₀) = F(x₀)·(x-x₀). (1.1)

y

y=F(x)

F(x₀) М₀

0 x₂ x₁ x₀ x

Рис. 1.4. Метод касательных.

За следующее приближение корня x₁ примем абсциссу точки пересечения касательной с ocью оx:

x₁ =x₀ - F(x₀) / F(x₀). (1.2)

При этом необходимо, чтобы F(x₀) не равнялся нулю:

F(x₀)0

Аналогично могут быть найдены и следующие приближения, как точки пересечения с осью абсцисс касательных, проведенных в точках M₁, M₂ и т.д. Формула для n+1-го приближения имеет вид:

x_n+1 = x_n - F(x_n)/F(x_n). (1.3)

Для завершения итерационного процесса можно использовать условие F(x_n)< , или условие близости двух последних приближений: x_n+1-x_n<.

Объем вычислений в методе Ньютона больше, чем в других методах, поскольку приходится находить значение не только функции F(x), но и ее производной. Однако скорость сходимости здесь значительно выше.

Пример: Решить уравнение F(x)=x³+x-1=0 на отрезке [0;1] методом Ньютона c точностью =0.01.

Решение: Определим первые и вторые производные заданной функции: F(x)=3x²+1; F(x)=6x. Вычислим значения функции F(x) на концах заданного интервала F(0)=-1; F(1)=1. Так как F(1)·F(1)=1·6>0, за начальное приближение корня можно принять x=1. Находим первое приближение:

x₁=x₀-F(x₀)/F(x₀)=x₀-(x₀³+x₀-1)/(3x₀²+1)=1-(1³+1-1)/(3·1²+1)=0,75

Аналогично находится второе приближение:

x₂=x₁ - F(x₁)/F(x₁)=x₁-(x₁³+x₁-1)/(3x₁²+1)=

=0,75-(0,75³+0,75-1)/(3·0,75²+1)=0,686047

Аналогично находится третье приближение:

x₃ =x₂ - F(x₂)/F(x₂)=x₂-(x₂³+x₂-1)/(3x₂²+1)=

=0,686047-(0,686047³+0,686047-1)/(3·0,686047²+1)=0,68234

Так как x₃ - x₂=0,68234-0,686047=0,00371< 0.01, итерационный процесс заканчивается. Таким образом, приближенным решением данного уравнения является x = 0,68234.

На рис. 1.5 приведена программа решения данного уравнения методом Ньютона.

CLS

REM LR-1-2, m=13, n=5

DEF FNF(X)=X^3+X-1

DEF FNP(X)=3*X+1