Математические формулы
Действия над многочленами
– (a + b – c)x=–ax – bx + cx; (a + b – c)(x + y)=ax + ay + bx + by – cx – cy
Дроби
; ; ; ; ;
Формулы сокращённого умножения
2= a2 ± 2ab + b2 (a ± b)3 = a3 ± 3ab2 + 3a2b ± b3 a2 – b2 = (a–b)(a+b)
a3 ± b3 = (a ± b)(a2 ± ab + b2)
Степени
Корни
Квадратное уравнение
общего вида: с чётным 2–м коэффициентом
приведённое разложение трёхчлена на множители
теорема Виета для приведённого уравнения
Неравенства второй степени
D=b2–4ac |
a>0 |
график |
|
ax2 + bx + c>0 |
ax2 + bx + c<0 |
||
D>0 x1<x2 |
x<x1 x>x2 |
x1<x<x2 |
|
D=0 x1=x2 |
x<x1 x>x1 |
нет решений |
|
D<0 корней нет |
x R |
нет решений |
|
Неравенства с переменной в знаменателе дроби
1. Неравенство сводиться к системам: 2.Неравенство сводится к системам:
1) 2) 1) 2)
Прогрессии
Арифметическая прогрессия
Общий член d – разность прогрессии, т.е. или
Сумма n – первых членов или
Геометрическая прогрессия
Общий член где q – знаменатель прогрессии сумма членов бесконечно
Свойства геометрической прогрессии: убывающей прогрессии:
Сумма n – первых членов или
Логарифмы
Логарифмом числа b по основанию a называется показатель степени c, в которую нужно возвести основание a, чтобы получилось число b.
Основное логарифмическое тождество:
Свойства логарифмов: ; ; ; ;
; ; ; ;
ЗАМЕЧАНИЕ: все числа a , b , x , y – принимают положительные значения, а если они стоят в основании логарифма, то не равны единице.
Показательные уравнения
1. уравнения вида: 1) при b<0, уравнение решения не имеет
2) при
3) при уравнение можно решить логарифмируя по основанию а, получим
2. уравнения вида: выражение, находящиеся в скобках уравнения (2), является величиной постоянной; обозначим эту величину буквой N, тогда уравнение (2) примет вид , при N ≠ 0 имеем:
3. уравнение вида: (1) с помощью подстановки обращается в обычное квадратное уравнение , где y1 и y2 – корни. Далее решение уравнения (1) сводится к решению двух уравнений: 1) 2)
4. уравнение вида: легко привести к виду уравнения (1) из 3.
разделив это уравнение на : С помощью подстановки , уравнение принимает вид: и сводится к решению двух уравнений: 1) 2)
ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА
1. 1) при
2) при
аналогично для неравенства .
2. для неравенства вида решение сводится к решению систем:
1) 2) 3) 4)
аналогично для неравенства:
ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА
1. неравенство вида сводится к решению одной из систем:
1) при a>1 2) при 0<a<1 аналогично для неравенства:
2. неравенство вида сводиться к решению двух систем:
1) 2) аналогично для неравенства
ПРОИЗВОДНАЯ
значение производной функции в точке равно угловому коэффициенту касательной к графику функции в этой точке. – уравнение касательной к графику функции в точке
ФОРМУЛЫ ПРОИЗВОДНЫХ ОСНОВНЫХ ФУНКЦИЙ
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
Определение Радианная мера углов 1радиан = 1800/π ≈57,295779520;
10 = π/1800 радиан ≈ 0,001745 рад.
Знаки тригонометрических функций
|
sin α |
cos α |
tg α |
ctg α |
0< α <π/2 |
+ |
+ |
+ |
+ |
π/2< α < π |
+ |
– |
– |
– |
π< α <3π/2 |
– |
– |
+ |
+ |
3π/2< α <2π |
– |
+ |
– |
– |
Значения функций характерных углов
радианы |
0 |
π/6 |
π/4 |
π/3 |
π/2 |
π |
3π/2 |
2π |
градусы |
00 |
300 |
450 |
600 |
900 |
1800 |
2700 |
3600 |
sin α |
0 |
½ |
√2/2 |
√3/2 |
1 |
0 |
–1 |
0 |
cos α |
1 |
√3/2 |
√2/2 |
½ |
0 |
–1 |
0 |
1 |
tg α |
0 |
√3/3 |
1 |
√3 |
∞ |
0 |
∞ |
0 |
ctg α |
∞ |
√3 |
1 |
√3/3 |
0 |
∞ |
0 |
∞ |
Формулы приведения. Чётность.
аргумент |
функция |
sin |
cos |
tg |
ctg |
–α |
–sinα |
cosα |
–tgα |
–ctgα |
|
π/2 ± α |
cosα |
sinα |
ctgα |
tgα |
|
π ± α |
sinα |
–cosα |
tgα |
ctgα |
Основные соотношения
sin2α + cos2α = 1; tgα · ctgα = 1; tgα = sinα/cosα = 1/ctgα;
ctgα = cosα/sinα = 1/tgα; 1 + tg2α = 1/cos2α; 1 + ctg2α = 1/sin2α; secα = 1/cosα; cosecα = 1/sinα;
Периодичность
функции sinα и cosα имеют период 2π, а функции tgα и ctgα – период π.
sin(α + 2πn) = sinα, n Z; cos(α + 2πn) = cosα, n Z; tg(α + πn) = tgα, n Z; ctg(α + πn) = ctgα, n Z;
Формулы для суммы и разности аргументов.
sin(α ± β) = sinα · cosβ ± cosα · sinβ; cos(α ± β) = cosα · cosβ sinα · sinβ;
tg(α ± β) = (tgα ± tgβ) / (1 tgα · tgβ); ctg(α ± β) = (ctgα · ctgβ 1) / (ctgβ ± ctgα);
Функции двойных углов
sin2α = 2sinα · cosα; cos2α = cos2α – sin2α = 1–2sin2α = 2cos2α – 1;
tg2α = 2tgα / (1–tg2α); ctg2α = (ctg2α – 1) / 2ctgα;
Функции половинного угла
sin(α/2) = ± cos(α/2) = ± tg(α/2) = ±
2sin2(α/2) = 1 – cosα; 2cos2(α/2) = 1 + cosα; sin2α = (1–cos2α) / 2
Функции полного угла
sinα = 2tg(α/2) / (1+ tg2(α/2)); cosα = (1–tg2(α/2)) / (1+tg2(α/2)); tgα = 2tg(α/2) / (1–tg2(α/2));
Функции тройного угла
sin3α = 3sinα – 4sin3α; cos3α = 4cos3α – 3cosα;
Произведения тригонометрических функций
sinα · cosβ = ½ · (sin(α + β) + sin(α – β)); cosα · cosβ = ½ · (cos(α + β) + cos(α – β));
sinα · sinβ = ½ · cos(α – β) – cos(α + β));
Сумма и разность тригонометрических функций
sinα + sinβ = 2 · sin((α + β)/2) · cos((α – β)/2); sinα – sinβ = 2 · sin((α – β)/2) · cos((α + β)/2);
cosα + cosβ = 2 · cos((α + β)/2) · cos((α – β)/2); cosα – cosβ = 2 · sin((α + β)/2) · sin((α – β)/2);
tgα ± tgβ = sin(α ± β) / (cosα · cosβ); cosα ± sinα = ;
Тригонометрические уравнения
sinα = a, α = arcsin a + 2π·n, n Z;
α = π – arcsin a + 2π·n, n Z;
cosα = a, α = ± arccos a + 2π n, n Z;
tgα = a, α = arctg a + π·n, n Z;
ctgα = a, α = arcctg a + π·n, n Z.
Частные случаи
sin x = ±1, x = ± π/2 + 2π, n Z; sin x = 0, x = πn, n Z;
cos x = –1, x = π + 2πn, n Z; cos x = 0, x = π/2 + πn, n Z; cos x = 1, x = 2πn, n Z;
Обратные тригонометрические функции отрицательного аргумента
arcsin(–α) = –arcsinα; arccos(–α) = π – arccosα; arctg(–α) = –arctgα; arcctg(–α) = = π–arcctgα;
Таблица первообразных
-
Функция.
Первообразная.
ex
ex+C
sin x
– cosx +C
cos x
sinx + C
sin(kx + b),
cos(kx+b),
tgx + C
−ctgx + C