Геометрия метод координат
Пусть на (i, j, k) заданы , тогда операции над ними будут равны:
;
Пусть A ( x1; y1; z1); B (x2; y2; z2); тогда:
вектор ; модуль вектора
Треугольник
в нешний угол СВД = ; К – точка пересечения высот (ортоцентр треугольника). ha, hb, hc – высоты треугольника на соответствующие стороны.
где полупериметр .
М – точка пересечения медиан треугольника (центр тяжести).
m a, mb, mc – медианы на соответствующие стороны. МВ:МД=МА:МЕ=МС:МК=2/1
Т – точка пересечения биссектрис треугольника (центр вписанной окружности). La, Lb, Lc – биссектрисы соответствующих углов. ВМ:МС = АВ:АС
r
– радиус вписанной окружности. О –
точка пересечения серединных
перпендикуляров к сторонам треугольника
(центр описанной окружности). Радиус
описанной окружности:
где SΔ – площадь треугольника; p – периметр треугольника; hc –
высота опущенная на соответствующую сторону с. На всех 4–х нарисованных треугольниках стороны одинаково обозначены, просто на 1–м они обозначены, а на остальных они опущены для упрощения рисунка. И вообще подразумевается, что все 4 треугольника абсолютно одинаковые.
M N – средняя линяя треугольника. MN=0.5AC; MN║AC.
ТЕОРЕМА СИНУСОВ
где R – радиус описанной окружности.
ТЕОРЕМА КОСИНУСОВ
ПЛОЩАДЬ ТРЕУГОЛЬНИКА
где – длины сторон треугольника, а – высоты, опущенные на соответствующие стороны.
– формула Герона.
РАВНОБЕДРЕННЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК
тогда площадь
ПРАВИЛЬНЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК
ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК
а и b – катеты, с – гипотенуза, ас и bc – проекции катетов на гипотенузу.
а2 + b2 = c2 – теорема Пифагора.
S= a·b/2 = c·hc/2; – радиус вписанной окружности.
R = c/2, – радиус описанной окружности.
sinA = a/c; cosA = b/c; tgA = a/b; ctgA = b/a; b2 = c·bc;
a = c·sinA = c·cosB = b·tgA = b·ctgB; c = a/sinA = a/cosB = 2R;
ПАРАЛЛЕЛОГРАММ
ПРЯМОУГОЛЬНИК
РОМБ
КВАДРАТ
ТРАПЕЦИЯ
а и b – основания, h – высота
ОКРУЖНОСТЬ И КРУГ
Длина окружности с =2πR. Площадь круга S = πR2 = πD2/4.
Длина дуги l = π·R·α/1800. Площадь сектора S = π·R2·α/3600.
где α – величина угла дуги в градусах.
ЧЕТЫРЁХУГОЛЬНИК И КРУГ
Свойство вписанного четырёхугольника:
ac + bd = ef, где a,b,c,d – стороны, e,f – диагонали.
Свойство описанного четырехугольника: a + c = b + d;
S = p·r, p – полупериметр.
ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОУГОЛЬНИКИ
Внутренний угол где n – число сторон. an = 2R·sin(1800/n);
Sn = ½ ·n·an·r; Sn = ½ ·Pn·r; r = R·cos(1800/n);
ШЕСТИУГОЛЬНИК
СТЕРЕОМЕТРИЯ
ПРИЗМА
Боковая поверхность наклонной призмы Sб.п. = P1·l, где P1 – периметр перпендикулярного сечения, l – ребро призмы.
Боковая поверхность прямой призмы Sб.п. = Pосн ·l; Объём призмы Vпр=Sосн·h;
ПИРАМИДА
I . Если боковые рёбра пирамиды равнонаклонены к плоскости основания (их длины равны), то высота проходит через центр окружности описанной около многоугольника основания.
II. Если боковые грани пирамиды равнонаклонены к плоскости основания (длины апофемы равны), то высота проходит через центр окружности, вписанной в многоугольник основания.
Площадь боковой поверхности правильной пирамиды: Sб.пир.= ½ ·Pосн·ha , где ha – апофема.
Sб.пир.= Sосн /cosα , где α – угол наклона боковой грани к основанию.
Объём пирамиды: Vпир= ⅓·Sосн·h, где h – высота пирамиды.
Площадь боковой поверхности правильной усечённой пирамиды: Sбок= ½ ·(P1+P2)·ha , где P1, P2 – периметры оснований (верхнего и нижнего); ha – апофема.
Объём усечённой пирамиды: где Q1 и Q2 – площади оснований.
ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ
ЦИЛИНДР
Площадь боковой поверхности: Sбок =2·π·R·h. Площадь всей пов–ти: S=2·π·R·(R + h). Объём: V = πR2·h;
КОНУС
Площадь пов–ти конуса: боковой Sб=πrl; полной Sп=πr ·(r + l); где l – образующая. Объём: V=πr2h/3;
УСЕЧЁННЫЙ КОНУС
Площадь боковой пов–ти: Sб.у.к.= π·l·(R + r); Объём: V=⅓·π·h(R2 + r2 +Rr); угол развёртки: α=(R–r)/l;
ШАР
Площадь пов–ти сферы: Sсф=4πR2; Объём шара: Vш=4/3·πR 3