Input X, e, m

1 X = X - FNF(X)/M

PRINT X, FNF(X)

IF ABS(FNF(X)/M)>E THEN 1

END

Рис.1.7. Программа решения уравнения методом

простой итерации.

2. Методы решения систем линейных

алгебраических уравнений.

Методы решения систем уравнений:

a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a_1nx_n = b₁

a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a_2nx_n = b₂

................................................ (2.1)

a_n1x₁ + a_n2x₂ + ... + a_nnx_n = b_n

делятся на точные и приближенные.

2.1. Метод Гаусса.

Является одним из наиболее распространенных методов решения систем линейных алгебраических уравнений. Этот метод является точным методом. В основе метода Гаусса лежит идея последовательного исключения неизвестных.

Рассмотрим систему из трех уравнений с тремя неизвестными:

I: a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + a₁₃x₃ = b₁

II: a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + a₂₃x₃ = b₂ (2.2)

III: a₃₁x₁ + a₃₂x₂ + a₃₃x₃ = b₃

Система уравнений (2.2) приводится к эквивалентной системе с треугольной матрицей:

I: a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + a₁₃x₃ = b₁

II: a₂₂x₂ + a₂₃x₃ = b₂ (2.3)

III: a₃₃x₃ = b₃

Достигается это при помощи цепочки невырожденных элементарных преобразований, при которых из каждой строки вычитаются некоторые кратные величины, расположенные выше строк.

Процесс приведения системы (2.2) к системе (2.3) называется прямым ходом, а нахождение неизвестных x₁, x₂, x₃ из системы (2.3) называется обратным ходом.

Прямой ход исключения: Исключаем x₁ из уравнений (II) и (III) системы (2.2). Для этого умножаем уравнение (I) на d₁=-a₂₁/a₁₁ и складываем со вторым, затем умножаем на d₂=-a₃₁/a₁₁ и складываем с третьим.

В результате получаем следующую систему:

II: a₂₂x₂ + a₂₃x₃ = b₂

III: a₃₂x₂ + a₃₃x₃ = b₃ (2.4)

Из полученной системы (2.4) исключаем x₂ . Для этого умножая новое уравнение на d₃=-a₃₂/a₂₂ и складываем со вторым уравнением, получим уравнение:

III: a₃₃x₃ = b₃ (2.5)

Взяв из каждой системы (2.2), (2.4) и (2.5) первые уравнения, получим систему уравнений с треугольной матрицей.

Обратный ход: Из уравнения (III) находим x₃=b₃/a₃₃. Из уравнения (II) находим x₂=b₂-a₂₃x₃. Из уравнения (I) находим x₁=b₁-a₁₂x₂-a₁₃x₃. Коэффициенты a₁₁, a₂₂ называются ведущими элементами 1-го и 2-го шагов исключения неизвестных. Они должны быть отличны от нуля. Если они равны нулю, то, меняя местами строки, необходимо на их место вывести ненулевые элементы.

Аналогичным путем методом Гаусса решаются системы n уравнений с n неизвестными.

Пример: Решить систему уравнений методом Гаусса:

x₁ + 4x₂ + 3x₃ = 10

2x₁ + x₂ - x₃ = -1

3x₁ - x₂ +x₃ = 11

Решение: Удалить члены с x₁ из 2-го и 3-го уравнений можно, вычитая из 2-ой строки 1-ую, умноженную на 2, а из 3-й - первую, умноженную на 3:

x₁ + 4x₂ + 3x₃ = 10

-7x₂ - 7x₃ = -21

-13x₂ -8x₃ = -19

2-ая строка делится на -7:

x₁ + 4x₂ +3x₃ = 10

x₂ + x₃ = 3

13x₂ + 8x₃ = 19

Вторая строка умножается на 13 и вычитается из 3-ей:

x₁ + 4x₂ + 3x₃ = 10

x₂ + x₃ = 3

-5x₃ = -20

3-я строка делится на -5:

x₁ + 4x ₂+ 3x₃ = 10

x₂ + x₃ = 3

x₃ = 4

Процедура обратного хода дает исходное решение:

x₃ = 4; x₂ = 3 - x₃ = -1;

x₁ =10 -4x₂-3x₃ = 10 - 4*(-1) - 3*4=10+4-12=2.