4.3. Интерполяционный полином

в форме Ньютона.

Запишем интерполяционный полином в форме Ньютона:

N_n-1(x)= y₁+¹(x₁,x₂)(x-x₁)+ ²(x₁,x₂,x₃)(x-x₁)(x-x₂)+...

+ ^n-1(x₁,x₂,...,x_n-1)(x-x₁)...(x-x_n-1), где

⁰_i = y_i,

¹(x_i,x_k)=(⁰_i - ⁰_k)/(x_i-x_k) - разделенная разность первого порядка,

²(x_i,x_j,x_k)=(¹(x_i,x_j)-¹(x_j,x_k))/(x_i-x_k) - разделенная разность второго порядка,

³(x_i,x_j,x_l,x_k)=(²(x_i,x_j,x_l)-²(x_j,x_l,x_k))/(x_i-x_k) - разделенная разность третьего

порядка и т.д.

Для заданной таблицы 4.4 построим интерполяционный полином в форме Ньютона

N₃(x_i)=y_i .

Расчеты представим в виде таблицы 4.5.

Таблицы 4.5

i	xi	yi	1(i,k)	2(i,j,k)	3(i,j,l,k)
1	-1	0
			2
2	0	2		-5/2
			-7/4		1
3	1/2	9/8		-1/2
			-9/4
4	1	0

¹(1,2)=(y₁ - y₂)/(x₁ -x₂)=(0-2)/(-1-0)=2,

¹(2,3)=(y₂ - y₃)/(x₂ -x₃)=(2-9/8)/(0-1/2)= -7/4,

¹(3,4)=(y₃ - y₄)/(x₃ -x₄)=(9/8-0)/(1/2-1)= -9/4,

²(1,2,3)=(¹(1,2)-¹(2,3))/(x₁ -x₃)=(2+7/4)/(-1-1/2)= -5/2,

²(2,3,4)=(¹(2,3)-¹(3,4))/(x₂ -x₄)=(-7/4+9/4)/(0-1)= -1/2,

³(1,2,3,4)=(²(1,2,3)-²(2,3,4))/(x₁-x₄)=(-5/2+1/2)/(-1-1)=1,

N₃(x)=(1)+(1,2)(x-x₁)+(1,2,3)(x-x₁)(x-x₂)+

+(1,2,3,4)(x-x₁)(x-x₂)(x-x₃)=

=0+2(x+1)-5/2(x+1)x+1(x+1)(x-1/2)=x³ -2x²-x+2.

Литература

1. Калиткин Н.П. Численные методы. М.: Наука, 1978. - 512 с.

2. Солодовников А.С. Введение в линейную алгебру и линейное программирование. М.: Просвещение, 1966. - 183 с.

3. Химмельблау Д. Прикладное нелинейное программирование.

М.: Мир, 1975. - 534 с.

4. Попов В.И. Численные методы расчета мостовых конструкций на ЭВМ. М.: 1981. - 78 с.

5. Монахов В.М. и др. Методы оптимизации. Применение математических методов в экономике. М., Просвещение, 1978. - 175 с.

6. Информатика. Методические указания к лабораторным работам. «Численные методы решения задач строительства на ЭВМ» для студентов специальности 2910.//Казанская государственная архитектурно-строительная академия; Сост.: Габбасов Ф.Г., Гатауллин И.Н., Киямов Х.Г. - Казань:, 1998. -50 с.