Розв’язування 1.9
На ареометр, який коливається в рідині, діють дві сили: сила ваги
(1)
і архімедова виштовхувальна сила, що рівна вазі рідини, яку витіснило тіло (ареометр):
(2)
де – об’єм витісненої рідини, рівний об’єму зануреної частини ареометра.
1. Якщо ареометр знаходиться в рідині в стані рівноваги (не коливається), то прийнявши напрямок «вниз» за додатній, одержимо:
(3)
2. Якщо ареометр змістили на величину х
по вертикалі і примусили коливатись,
то об’єм зануреної частини приладу
змінюється на величину (
)
і змінюється величина виштовхувальної
сили.
(4)
де
(5)
– зміна об’єму зануреної частини приладу.
Звідси
(6)
Таким чином, при русі ареометра вниз на нього діють сили, напрямлені вгору: виштовхувальна сила (6) і сила тертя, яка визначається рівнянням:
(7)
Використовуючи другий закон Ньютона, диференційне рівняння руху ареометра запишемо:
(8)
Воно має такий вигляд, як і рівняння руху тіла, що здійснює згасаючі гармонічні коливання:
(9)
Отже, ареометр здійснює затухаючі гармонічні коливання:
,
(10)
циклічна частота яких визначається рівнянням:
(11)
де
(12)
– коефіцієнт згасання
Власна частота коливань
визначається:
(13)
(14)
(15)
Тоді
(16)
Використовуючи рівняння (12), (13) і (16), перепишемо рівняння (11) і визначимо
(17)
(18)
Перевіримо розмірність і розрахуємо його значення.
(19)
Отже
(20)
(21)
1.
.
(22)
2.
(23)
3. Визначити логарифмічний декремент
згасання
:
(24)
4. Визначити число коливань
,
після яких амплітуда коливань зменшиться
в е-раз:
;
(25)
5. Визначити час
,
протягом якого амплітуда коливань
зменшиться в е-раз:
(26)
6. Визначити добротність коливальної системи:
(27)