Задача 9.5 (26–5 Фирганг)
Виходячи із співвідношень:
(1)
де
(2)
та
(3)
знайти співвідношення між величинами та , які характеризують спектральну густину енергетичної світності тіла. Записати формулу Планка для величини .
Розв’язування 9.5
Кожну елементарну ділянку спектра
випромінювання можна характеризувати
як інтервалом частот
,
так і інтервалом довжин хвиль
.
Так як величини
та
зв’язані відомим співвідношенням:
(4)
то
(5)
Звідси видно, що величини , мають протилежні знаки.
Одній і тій же самій ділянці спектра
відповідає одна і та сама величина
в формулах (2) і (3). Тому, враховуючи знаки
величини
та
,
отримаємо:
(6)
Із формули (5) та (6) знаходимо відповідь на перше запитання задачі:
(7)
Для того, щоб в формулі Планка виду (8):
(8)
перейти до величини , досить скористатися співвідношеннями (4) і (7):
(9)
або
(10)
Задача 9.6 (26–6 Фирганг)
Визначити за допомогою формули Планка
енергетичну світність
абсолютно чорного тіла, яка приходиться
на вузьку ділянку довжин хвиль
,
яка відповідає максимуму спектральної
густини енергетичної світності при
температурі тіла
.
Розв’язування 9.6
Із співвідношення
,
(1)
так як мова йде про вузький інтервал хвиль, випливає, що
(2)
де
– максимальне значення спектральної
густини енергетичної світності абсолютно
чорного тіла при даній температурі.
Щоб визначити величину за формулою Планка, потрібно крім температури Т знати довжину хвилі, яка відповідає . Цю довжину хвилі знайдемо із закону зміщення Віна:
(3)
Підставимо це значення
у формулу для
,
яку вивели в попередній задачі (№5),
отримаємо:
(4)
Із формул (2) та (4) знаходимо розв’язок:
(5)
Перед розрахунком звернемо увагу, що
рівняння (4), одержане нами із формули
Планка і закону зміщення Віна, виражає
пропорційну залежність між величинами
і
.
Його інколи називають другим законом
Віна і записують у вигляді:
(6)
При цьому значення константи
(7)
можна знайти в таблицях. В такому випадку розрахункова формула (5) спрощується:
(8)
Підставимо числові значення величин,
які виражені в одиницях СІ:
,
Т=3000 К,
м
і зробивши розрахунки, отримаємо:
