Розв’язування 1.5

1. Період коливання визначаємо за формулою , де – час коливання; – кількість коливань, які відбулися протягом цього часу. У нашому випадку , а . Отже, .

Частота ; .

Колова частота ; .

2. Логарифмічний декремент затухання , де і – амплітуди коливань, віддалені одна від одної на період. Знаючи і визначаємо .

3. Враховуючи, що амплітуда затухаючих коливань змінюється за формулою:

,

знайдемо значення амплітуд, які відповідають моментам часу, що відрізняються на період (згідно визначення )

.

Одержаний вираз називають декрементом затухання, а його логарифм – логарифмічним декрементом затухання:

.

З приведеного рівняння знаходимо коефіцієнт затухання коливань :

.

4. Стала часу – це є інтервал часу, протягом якого амплітуда коливань зменшується в раз. Цю сталу часу визначають через коефіцієнт затухання ; .

5. Коефіцієнт опору системи визначається через коефіцієнт затухання і масу вантажу, що коливається. Для коливань вантажу на пружині .

6. Хвильовий (характеристичний) опір системи для коливань вантажу на пружині визначають за формулою: .

7. Добротність системи визначається відношенням характеристичного опору до коефіцієнта опору , тобто

.

Задача 1.6

Вантаж , що висить на пружині, розтягує її на величину м. Визначити:

1. Жорсткість пружини.

2. Роботу, виконану силою тяжіння під час розтягування пружини.

3. Максимальну швидкість, якої набуде тіло, що здійснює коливання, якщо зникне сила тяжіння.

4. Колову частоту, частоту і період коливань даного вантажу на пружині (один з варіантів цього завдання можна перевірити експериментально, зібравши демонстраційну установку).

5. Довжину нитяного (математичного) маятника, який матиме такий період коливань, як і даний вантаж на пружині (результат можна запропонувати перевірити експериментально).

Розв’язування 1.6

1. За законом Гука, сила пружності пропорційна деформації тіла:

,

де – жорсткість пружини (коефіцієнт пропорційності між силою пружності і деформацією тіла).

Звідси

,

де сила пружності дорівнює силі земного тяжіння, що діє на вантаж:

а деформація

(її можна знайти за початковим і кінцевим положенням стрілки відносно лінійки).

Отже

2. Роботу, виконану силою земного тяжіння при розтягуванні пружини, можна визначити за різницею потенціальних енергій пружини в кінцевому і початковому станах:

Потенціальна енергія в початковому стані (пружина не розтягнута) дорівнює нулю. Отже

;

3. Потенціальну енергію пружно деформованої пружини визначаємо за формулою . За законом збереження механічної енергії (при нехтуванні її втратами), максимальне значення механічної енергії

.

Прирівнявши максимальне значення потенціальної енергії до максимального значення кінетичної енергії, можна знайти максимальне значення швидкості, яку матиме тіло при коливаннях, якщо раптом зникло б земне тяжіння:

Але

Тому

4. Колову частоту коливань на пружині можна визначити за формулою . ;

.

Оскільки колова частота пов’язана із звичайною частотою співвідношенням , то ; .

Період коливань ;

4. Період коливань вантажу на пружині визначають за формулою . За розтягом пружини під дією вантажу можна знайти жорсткість пружини: . Отже, . Формула для визначення періоду коливань нитяного маятника: . Оскільки періоди коливань обох маятників повинні бути однаковими, то ; . У нашому випадку . Тепер виготовляємо нитяний маятник такої довжини, визначаємо експериментально період його коливань і впевнюємося у тому, що цей період дорівнює періоду коливань даного тягаря на пружині.