Понятие о рядах Фурье

Задача: Пусть на , причём ряд сходится равномерно. Надо выяснить, чему равны .

Решение: Заметим, что при при при , при при . Т.к. ряд сходится равномерно и его члены – непрерывные функции, то его можно почленно интегрировать. Можно будет почленно интегрировать и после умножения на и . Получим: , откуда . Далее, (т.к. выражение под суммой равно 0 при ). Отсюда . Ещё далее, , откуда .

Пусть интегрируема на . Тогда ряд , где , называется рядом Фурье для на . Обозначение: .

существуют, если интегрируема либо если сходится .

Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций:

Имеем для , интегрируемой на следующее: . Отсюда . Пусть теперь – чётная. Тогда – чётная, а – нечётная. Следовательно, . Аналогично, если – нечётная, то .

В случае разложения функции, заданной на , её можно продолжить на любым образом. Лучше всего – чётный или нечётный варианты. Если – чётная функция, на , то на , где . Аналогично, если – нечётная функция и на , то на будет , где .

Некоторые факты:

1. Если интегрируема на или сходится, то и при .

2. Принцип локализации Римана: поведение ряда Фурье для в точке определяется только значениями в сколько угодно малой окрестности точки , т.е. если на и обе они интегрируемы на , то ряды Фурье для и либо оба расходятся в точке , либо оба сходятся к одной и той же сумме.

3. Признак Дини: Пусть интегрируема на непрерывна в точке . Если сходится, то ряд Фурье для сходится в точке к .

Если , то ряд Фурье в точке сходится к .

Функции нескольких переменных

Метрическим пространством X называется множество элементов любой природы, в которым для любых двух элементов M, N определено расстояние между ними , т.е. задан числовой функционал со свойствами:

1. , причём тогда и только тогда, когда .

2. .

3. Для будет (неравенство треугольника).

Пусть дано метрическое пространство X и . Открытым шаром с радиусом R и с центром в точке называется .

ε – окрестностью точки называется открытый шар радиусом ε с центром в точке . Обозначение: .

Точка называется внутренней для , если .

Множество называется открытым, если все его точки внутренние для метрического пространства.

Множество A называется ограниченным, если .

Ограниченное множество называется областью.

Точка называется предельной для множества A, если в любой окрестности точки найдутся точки (тогда в любой окрестности точки таких точек M бесконечно много).

Множество называется замкнутым, если оно содержит все свои предельные точки.

Множество, полученное из области присоединением к ней всех её предельных точек, называется замкнутой областью.

Непрерывной кривой в называется множество точек , где и – функции, непрерывные на .

Множество называется связанным, если для существует непрерывная кривая , где и при .