Зависимость функций

Пусть задана функция . Говорят, что функция зависит от на некотором множестве , если существует дифференцируемая функция на D будет .

Говорят, что система функций зависима на D, если хотя бы одна из этих функций зависит от остальных на D.

Достаточное условие независимости: Если даны функции и на множестве будет какой-то из якобианов , то на D система независима.

Пусть для определённости и пусть система зависима, т.е. и на D. Тогда , т.к. k-я строчка представляет собой линейную комбинацию остальных. Отсюда следует, что система независима.

Пусть дано уравнение поверхности . Тогда уравнения касательной плоскости выглядит так: . Если уравнение поверхности задано в виде , то уравнение касательной плоскости имеет вид или .

Пусть задано направление , функция и точка . Тогда производной по направлению в точке называется . Обозначение: . При этом . Если ввести оператор , то .