- •II семестр – весенний семестр 2003 года
- •Необходимое и достаточное условия интегрируемости
- •Классы интегрируемых функций
- •Интегралы как функции множества
- •Оценки интегралов
- •Интеграл как функция верхнего предела
- •Приложение определённого интеграла
- •Площади фигур
- •Условная сходимость
- •Ряды со знакопеременными членами
- •Действия над рядами
- •Функциональные ряды и последовательности
- •Признаки равномерной сходимости
- •Степенные ряды
- •Понятие о рядах Фурье
- •Функции нескольких переменных
- •Последовательности точек
- •Дифференцирование функций нескольких переменных
- •Производные и дифференциалы высших порядков
- •Зависимость функций
Условная сходимость
Говорят, что сходится условно, если сходится, а расходится.
Пример: .
Специальный признак сходимости: Пусть на и непрерывны, интегрируема на каждом и пусть – какая-то первообразная для . Если существует конечный и сходится , то сходится и .
По формуле интегрирования по частям имеет конечный предел при сходится.
Условия специального признака выполнены, если и непрерывны на , интегрируема на и выполнены условия:
ограничена на .
при .
сходится.
Действительно, т.к. ограничена и при , то , кроме того, ограничена, а т.к. сходится, то сходится и сходится .
Признак Дирихле: Пусть и непрерывны на , интегрируема на и пусть
ограничен для .
монотонна на .
при .
Тогда сходится.
Проверим выполнение условий следствия специального признака.
Обозначая , видим, что ограничена на .
По условию при .
(«+», если , «–», если ) , т.е. сходится.
Следовательно, выполнены все условия специального признака и, значит, сходится.
Признак Абеля: Пусть и непрерывны на , интегрируема на и пусть
сходится.
монотонна и ограничена.
Тогда сходится.
Т.к. монотонна и ограничена, то существует конечный . Тогда . Т.к. сходится, то сходится , а сходится по признаку Дирихле, т.к. ограничен, монотонна и при . Следовательно, сходится.
Признаки Дирихле и Абеля только достаточны. Расходимость с их помощью показать нельзя.
Числовые ряды
Простейшие свойства:
Ряды и либо оба сходятся, либо оба расходятся. (Очевидно, т.к. критерий Коши даёт для обоих рядов одно и то же неравенство. При этом если ряды сходятся, то ).
Пусть . Тогда и либо оба сходятся, либо оба расходятся. (Если обозначить , то ясно, что . Отсюда, если , то и т.п.).
Если и оба сходятся, то при тоже сходится, причём . ( при ).
Ряды с положительными членами
Если , то не убывает. (Действительно, для , т.е. ).
Необходимый и достаточный признак сходимости: Если , то сходится тогда и только тогда, когда ограничена (сверху).
То, что ряд сходится, равносильно тому, что существует конечный , а это, т.к. не убывает, равносильно ограниченности сверху .
I признак сравнения: Если , то из сходимости следует сходимость , из расходимости следует расходимость .
Пусть сходится. Обозначим . По необходимому и достаточному признаку ограничена и , т.е. тоже ограничена, а значит сходится.
Пусть расходится. Тогда при . Но , т.е. расходится.
II признак сходимости: Если и существует конечный , то и либо оба сходятся, либо оба расходятся (в частности, если (т.е. )).
Возьмём . Тогда для будет , т.е. для . Отсюда:
Если сходится, то сходится и тоже сходится, следовательно, сходится.
Если сходится, то сходится и и сходится сходится .
III признак сходимости: Пусть и . Тогда из сходимости следует сходимость , из расходимости следует расходимость .
Имеем для . Перемножим эти неравенства. Тогда , т.е. . Отсюда по первому признаку если сходится, то и сходится, если расходится, то и расходится.
Радикальный признак Коши: Пусть .
Если для , начиная с некоторого, , то сходится. Если же для , начиная с некоторого , то расходится.
Если , то при сходится, при расходится.
Сравним с рядом для случая и с для . Тогда в первом случае, т.к. , то и т.к. , то сходится сходится. Во втором случае , начиная с некоторого n. расходится расходится.
Пусть теперь . Если , то найдётся и для , начиная с некоторого, будет . Отсюда сходится.
Признак Даламбера: Пусть .
Если при , начиная с некоторого, будет , то сходится, если же , то расходится.
Если , то при ряд сходится, при – расходится.
Применим к и рядам (при ) и III признак сходимости. Тогда в первом случае и сходится. Следовательно, сходится. Во втором случае .
Пусть . Тогда, если , то и для будет . Следовательно, по первому случаю сходится. Если же , то для будет и расходится.
При как в признаке Даламбера, так и в признаке Коши требуется дополнительное исследование.
Интегральный признак Коши-Маклорена: Пусть , причём непрерывна на , монотонно убывает и . Тогда и либо оба сходятся, либо оба расходятся.
Обозначим и заметим, что сходимость эквивалентна существованию конечного . Действительно, т.к. , то для будет . Поэтому, если , то при . Если же , то тем более .
Теперь заметим, что сходимость эквивалентна сходимости ряда . Действительно, (т.к. ) и сходимость есть то же самое, что и сходимость .
Сравним с . Имеем (по теореме Лагранжа) , где . По монотонности будет . Отсюда видно, что если сходится , то сходится , и, значит, сходится . Обратно, если сходится, то сходится , а, значит, по I признаку сходится .