- •Последовательности и их пределы
- •Подпоследовательности и частичные пределы
- •Критерий сходимости последовательности.
- •Предел функции и его свойства
- •Классификация бесконечно больших и бесконечно малых функций
- •Равномерная непрерывность функции
- •Раскрытие неопределённостей (правила Лоппиталя)
- •Исследование функций
- •Выпуклость в точке перегиба
Математический анализ
Лектор: Юрченко Александр Максимович
I семестр – осенний семестр 2002 года
Таблица эквивалентных функций (при ):
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Таблица производных
|
Таблица интегралов
. .
|
Действительные числа
Действительным числом называется бесконечная последовательность цифр с одной запятой между ними и знаком «+» или «–» перед (при этом числа с бесконечным числом нулей в периоде невозможно отличить от соответствующих чисел с бесконечным количеством девяток в периоде).
и будут равны, если , , , …, и знаки совпадают.
Числа со знаком «+» называются положительными, со знаком «–» – отрицательными, а число - нулём.
Неравенства: Всякое положительное число больше нуля, всякое отрицательное – меньше. Пусть , . Говорят, что , если либо , либо , а , либо , , а и т.д. (т.е. для , ).
Если , то .
Если и отрицательны, то , если . Если , а , то . Если и , то .
Пусть дано числовое множество A. Число M называется верхней границей множества A, если для будет выполнено условие . Если у A существует верхняя граница, то A называется ограниченным сверху.
Пусть множество A ограничено сверху. Наименьшая из верхних границ называется верхней гранью и обозначается .
Теорема о точной грани: Если множество A не пусто и ограничено сверху, то у него существует точная верхняя грань.
Пусть множество A не пусто и ограничено сверху, а B – множество всех чисел, ограничивающих сверху множество A. Если и , то из определения числа, ограничивающего сверху множество, следует, что . Следовательно, существует такое число , что для всех a и b будет выполняться неравенство . Неравенство , означает, что ограничивает сверху множество A, а неравенство , – что число – наименьшее среди всех чисел, ограничивающих сверху множество A. Следовательно, .
Свойства абсолютных величин: для любых a и b выполняются неравенства , .
Последовательности и их пределы
Последовательностью называется функция, область определения которой – совокупность натуральных чисел.
Последовательность ограничена сверху, если такое, что для , снизу, если такое, что для , ограничена, если такое, что для .
для для будет .
называется бесконечно малой, если .
Пример: , т.е. для будет .
Свойства бесконечно малой последовательности:
Бесконечно малая последовательность ограничена.
Пусть – бесконечно малая. Тогда для будет . Введём . Тогда для будет . Следовательно, ограничена.
Сумма любого конечного числа бесконечно малых будет бесконечно малой.
Сначала докажем для двух бесконечно малых. Пусть и – бесконечно малые. Возьмём . Тогда и такие, что для будет и будет . Введём . Тогда для будет . Следовательно, – бесконечно малая.
Аналогично и т.д.
Разность бесконечно малых будет бесконечно малая.
Следует из того, что и, следовательно, для тех же и N, что и в прошлой теореме, будет для .
Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую будет бесконечно малая.
Пусть – бесконечно малая, а – ограниченная. Тогда такое, что (следует из определения ограниченности). Возьмём . Тогда, т.к. – бесконечно малая, то для будет . Тогда для будет и . Следовательно, – бесконечно малая.
Если – бесконечно малая и , то .
Пусть и . Возьмём . Тогда, по определению бесконечно малой для будет , т.е. или , что невозможно. Полученное противоречие доказывает теорему.
называется бесконечно большой, если , т.е. для для будет .
Если – бесконечно большая, то хотя бы с некоторого n определена последовательность и эта последовательность бесконечно малая.
Возьмём, например, . Тогда для для определена.
Возьмём . Тогда, т.к. – бесконечно большая, то для будет . Тогда для будет – бесконечно малая.
Число является пределом для последовательности, если вне её сколь угодно малой окрестности лежит конечное число членов последовательности.
Если , то .
Возьмём . Тогда для будет .
тогда и только тогда, когда существует бесконечно малая такая, что .
Теорема о единственности предела последовательности: Если и , то .
Пусть и . Тогда существуют бесконечно малые и и . Так как , то (при ), .
Сходящаяся последовательность ограничена.
Т.к. , то , где – бесконечно малая. Но бесконечно малая ограничена, т.е. такое, что для .
Если , то хотя бы с некоторого n определена и ограничена.
Т.к. , то . Возьмём . Тогда, т.к. , то такое, что для будет , т.е. . Отсюда при всех будет определена и .
Если и , то и все , начиная с некоторого n.
Возьмём . Тогда при , т.е. .
Если хотя бы с некоторого номера и , то .
Пусть . Тогда для будет – противоречие.
При предельном переходе неравенство может превратиться в равенство. Пример: , .
Если и , то .
В формулировке теоремы достаточно, чтобы неравенство выполнялось, начиная с некоторого номера.
Если и существуют конечные и , то .
Так как , то и . По теореме , т.е. , откуда .
Теорема о зажатой переменной: Пусть для , начиная с некоторого, будет и . Тогда .
Пусть – это такое число, что для будет . Возьмём . Т.к. , то для будет . Аналогично, т.к. , то для будет . Обозначим . Тогда для будут выполнены все три двойных неравенства: , т.е. или , что равносильно , ч.т.д.
Арифметические операции над сходящимися последовательностями
Пусть существуют конечные и . Тогда существуют пределы:
.
.
Если , то .
Пусть , а . Тогда , , где и – бесконечно малые.
, откуда , т.е. .
Аналогично .
.
Монотонные последовательности и их пределы
Последовательность называется неубывающей, если для будет ; возрастающей, если для будет .
Всякая неубывающая последовательность ограничена снизу, всякая невозрастающая – сверху.
Если неубывающая последовательность ограничена сверху, то она имеет конечный предел
Пусть не убывает и ограничена сверху. Тогда по теореме о точной грани существует конечный . Докажем, что . Возьмём . По определению . Тогда для будет . Следовательно, для будет , т.е. .
Для справедливости теоремы достаточна монотонность, начинающаяся с некоторого номера.
Если не убывает и не ограничена сверху, то .
Возьмём . Т.к. не ограничена сверху, то , т.е. для .
Критерий сходимости монотонной последовательности: Монотонная последовательность имеет предел тогда и только тогда, когда она ограничена.
Существует конечный предел последовательности . Этот предел называется числом e и он равен 2.71828182845905…
Используем формулу бинома Ньютона: .
Покажем, что возрастает. Напишем и сравним с : . В каждое слагаемое больше, чем в , т.к. и в есть лишнее положительное слагаемое. Следовательно, .
Покажем, что ограничена сверху: (т.к. ) (геометрическая прогрессия) .
Отсюда, т.к. и , то существует конечный . Видно, что .
Теорема о вложенных отрезках: Пусть дана последовательность вложенных отрезков , причём длина при . Тогда существует единственная точка для и .
Докажем, что точка C существует. Заметим, что , т.е. не убывает. Кроме того, для , т.е. ограничена сверху числом . По теореме об ограниченной последовательности, . Т.к. , то . При этом , т.е. для .
Докажем, что C – единственная точка. Пусть существует другая точка , которая принадлежит отрезку при . Тогда для . Значит, для длина длины . Поэтому не может длина , что противоречит условию.