- •Последовательности и их пределы
- •Подпоследовательности и частичные пределы
- •Критерий сходимости последовательности.
- •Предел функции и его свойства
- •Классификация бесконечно больших и бесконечно малых функций
- •Равномерная непрерывность функции
- •Раскрытие неопределённостей (правила Лоппиталя)
- •Исследование функций
- •Выпуклость в точке перегиба
Равномерная непрерывность функции
называется равномерно непрерывной на X, если для для и и удовлетворяющих неравенству будет .
Колебанием функции на множестве X называется величина
Теорема Кантора: Если функция непрерывна на отрезке, то она равномерно непрерывна на нём.
Пусть не является равномерно непрерывной на . Тогда для натурального и и , но при этом . По лемме Больцано-Вейерштрасса из можно выделить сходящуюся подпоследовательность . Тогда , где , т.е. при . Т.к. , то непрерывна в точке и, значит, , , и, поэтому, , но этого быть не может, т.к. . Полученное противоречие показывает теорему.
Если непрерывна на , то существует разбиение такое что для .
Т.к. непрерывна на , то равномерно непрерывна на , следовательно, для для и будет . Разобьём отрезок точками так, что все . Рассмотрим теперь . Пусть , а . Т.к. , то для .
Если равномерно непрерывна на множестве X, то непрерывна на множестве X.
То, что равномерно непрерывна, означает, что для для и будет , т.е. для , что полностью подходит под определение непрерывной на отрезке функции.
Непрерывность элементарных функций
– непрерывна везде, т.к. .
– непрерывна везде, т.к. если взять , то из следует .
(n – натуральное) – непрерывна везде как произведение непрерывных функций.
– непрерывна везде как сумма непрерывных функций.
– непрерывна везде, кроме тех x, при которых знаменатель равен нулю.
. Пусть . Тогда . Для функции известно, что она непрерывна на . Кроме того, если , то возрастает. Следовательно, определена на , строго возрастает и непрерывна.
. Рассмотрим , т.е. . Возьмём и положим . Тогда, если , то , следовательно, , а так как это верно для любого a, то непрерывна везде.
– непрерывна везде.
– непрерывна везде, кроме .
– непрерывна везде, кроме .
– непрерывны на по определению.
– непрерывны везде по определению.
.
а) Докажем, что . Имеем для .
б) Докажем, что . Заметим, что при , а при . Возьмём . Тогда при будет . Зафиксируем . Тогда . Т.к. , то, взяв , будем иметь для . Тогда , т.е. при , откуда .
в ) Докажем, что . Имеем , т.е. непрерывна при , а т.к. – любое, то непрерывна везде.
г) Монотонность (при ). Пусть . Тогда . Т.к. , то , следовательно, , т.е. функция монотонно возрастает.
– непрерывна на из теоремы об обратной функции.
Доказательство некоторых эквивалентностей:
. .
. .
. .
Дифференциальное исчисление
Производная в точке x .
– правосторонняя производная в точке x.
Некоторые производные:
.
.
.
.
.
.
.
Приращение дифференциальной функции:
Если дифференцируема в точке (т.е. имеет конечную производную), то , где при . Равенство сохраняется и при . При этом будем полагать .
Имеем при . Обозначим . Тогда , где .
Если дифференцируема в точке , то непрерывна в точке .
Т.к. , то при функция непрерывна.
Правила дифференцирования:
.
Если и дифференцируемы в точке , то в точке существуют
.
, где .
.
.
Пусть . Тогда . Отсюда .
Пусть . Тогда , откуда .
Пусть . Тогда , откуда (т.к. при (следует из непрерывности )).
Пусть . Тогда , откуда (т.к. при (следует из непрерывности )).
Пусть дифференцируема в точке и определена в некоторой окрестности точки , функция дифференцируема в соответствующей точке и значения , когда x принадлежит некоторой окрестности точки , попадают в некоторую окрестность точки . Тогда сложная функция будет дифференцируема в точке , причём .
Придадим x приращение . Тогда получит приращение . Аналогично, получит приращение . По формуле приращения будет , где при . Отсюда . (т.к. и ).
Теорема о производной обратной функции: Пусть в некоторой окрестности точки строго возрастает или строго убывает и непрерывна и пусть существует . Тогда в некоторой окрестности соответствующей точки определена обратная функция , причём существует .
По теореме о непрерывности обратной функции в некоторой окрестности точки существует обратная функция , строго монотонная и непрерывная. Придадим y приращение . Тогда . Причём при будет . Отсюда .
Пример:
.
.
Дифференциал функции
Если дифференцируема в точке , то , следовательно, при выражение – главная часть приращения .
Е сли дифференцируема в точке , то выражение называется дифференциалом в точке . При этом для симметрии записывают как . Тогда .
Теорема об инвариантности формы первого дифференциала: Дифференциал дифференцируемой функции может быть написан в виде как в случае, когда x – независимая переменная, так и в случае, когда – дифференцируемая функция другой переменной.
Пусть x – независимая переменная. Тогда по определению.
Пусть . Тогда .
Производные и дифференциалы старших порядков
Если на промежутке существует , то , если она существует.
Аналогично .
Очевидно, что , , где .
Некоторые формулы:
, , , …, . Если a – натуральное, то при и при .
, .
, .
, .
, .
, , , , . , .
Аналогично .
Формула Лейбница: .
Функция называется n раз дифференцируемой, если у неё существует производная n-го порядка.
n-й дифференциал , причём приращение x всё время берётся одно и то же.
Если x – независимая переменная, то:
Форма дифференциала n-го порядка при переходе от независимой переменной к зависимой не сохраняется.
Пусть . Тогда .
Параметрическое дифференцирование:
, , , .
Теоремы о дифференцируемых функциях
Говорят, что возрастает в точке , если существует такое , что при будет , а при будет .
Пусть определена в некоторой окрестности точки и существует . Тогда в точке возрастает.
Имеем . Тогда при будет . Отсюда для будет , т.е. , а для будет , т.е. на .
Точка называется точкой локального максимума для , если в окрестности будет ( определена на ).
Точки локального максимума и минимума называются точками локального экстремума.
Теорема Ферма: Если определена на каком-то промежутке, во внутренней точке достигает локального экстремума и существует , то .
Пусть, например, – точка локального максимума. Тогда не может быть , т.к. тогда бы при было бы , что противоречит условию, и не может быть , т.к. тогда бы при было бы , что противоречит условию, следовательно, .
Теорема Ролля: Пусть
непрерывна на ,
дифференцируема хотя бы на .
.
Тогда .
Т.к. непрерывна на , то по I теореме Вейерштрасса, и , в которых достигает своего наибольшего и наименьшего значений. Возможны два случая:
. Тогда и для . Т.е. за C можно взять .
. Т.к. , то хотя бы одно их этих значений будет достигаться во внутренней точке нашего интервала, т.е. в C будет локальный экстремум, а т.к. существует, то по теореме Ферма .
Теорема Лагранжа: Пусть
непрерывна на ,
дифференцируема хотя бы на .
Тогда .
В ведём вспомогательную функцию . Проверим условия теоремы Ролля:
непрерывна на , т.к. является линейной комбинацией непрерывных функций
Дифференцируема на по той же причине, причём .
, , т.е. .
Т.к. удовлетворяет условиям теоремы Ролля, то , т.е. или .
Теорема Лагранжа верна как при , так и при . Часто берут , тогда . Получаем . Тогда можно обозначить , . Тогда теорема Лагранжа формулируется так: Существует , что . При этом последнюю формулу называют формулой конечных приращений. Есть ещё одна запись этой теоремы: .
Теорема Коши для дифференцируемых функций: Пусть
и непрерывны на ,
и дифференцируемы хотя бы на ,
на .
Тогда .
Убедимся, что . Если бы это было не так, то выполнялись бы все условия теоремы Ролля, и существовала бы точка , что противоречит третьему условию. Введём вспомогательную функцию .
непрерывна на как линейная комбинация непрерывных функций.
дифференцируема на по той же причине, причём .
, , т.е. .
Значит, по теореме Ролля , т.е. или .
Формула Тейлора: Пусть в некоторой окрестности точки существует , , …, и . Тогда .
Обозначим (многочлен Тейлора). При этом , , …, . Поэтому, если положить , то для будет , , …, . Докажем, что . . Следовательно, .
Единственность формулы Тейлора: Если и , то , , …, .
Из следует, что . Устремим x к . Тогда . Вычтем и и поделим на . Тогда . Опять устремим x к . Получим . Аналогично , , …, .
Если раз дифференцируема в некоторой окрестности точки , существует и , то , где .
Положим . Тогда в условии теоремы .
Пусть на существуют и непрерывны , , …, , а в существует . Тогда для существует число для .
Нам надо оценить . Введём вспомогательную функцию , где z – переменная, а .
непрерывна на .
. Т.к. существует в , то и существует в том же интервале.
, .
Возьмём произвольную функцию с условиями: непрерывна, дифференцируема и не равна нулю на , и применим теорему Коши. Получим, что существует точка , откуда . Тогда . Возьмём , тогда существует на и на . Отсюда . Т.к. , то ( ). Тогда , .
Частные случаи:
Член называется остаточным членом в форме Пеано.
При называется остаточным членом в форме Лагранжа.
При – остаточный член в форме Коши.
Стандартные разложения:
.
.
.
.
Формула бинома Ньютона: .
Ряды
Рядом называется сумма бесконечного числа слагаемых. .
Сумма называется частичной суммой ряда.
Если существует конечный предел , то S называется суммой ряда. Говорят, что ряд сходится к S. Если , то говорят, что ряд расходится к .
Критерий сходимости ряда: Для сходимости ряда необходимо и достаточно, чтобы для для и любого натурального p было бы .
Необходимый признак сходимости ряда: Если сходится, то при .
Пусть сходится и , т.е. при . Тогда , а значит .
Ряд называют абсолютно сходящимся, если сходится ряд .
Если ряд абсолютно сходится, то он сходится.
Пусть абсолютно сходится, т.е. сходится . Возьмём . Тогда по критерию сходимости для и натурального будет . Но тогда для того же и того же N для и любого натурального p будет . Тогда по критерию Коши сходится.
Ряды вида называют степенными.
Степенной ряд называется рядом Тейлора для , если .