27. Криволинейные координаты в пространстве. Переход в тройных интегралах от декартовой системы координат к криволинейной системе координат.

Рассм в пр-ве (дек сист корд – в x,y,z) тело V и в u,v,w тело V’.

{x=x(u,v,w), {y=y(u,v,w), {z=z(u,v,w) (1) Пусть сист ф-й (1) устанавливает взаимно-однозначн соотв между телами V и V’. т. Р V !т.Р’ V’, т.Р’ V’ !т.P V

Тогда тройка чисел (u,v,w) опред не только положение т. Р’ V’, но и полож т.Р тела V с помощью непр ф-й (1). Но в отличие от Декарт сист корд (u,v,w) для тела V наз-ся криволинейными. Проведем в пр-ве отнесен к д.с.к. (u,v,w) корд пл-ти u=C, v=C,w=C, C=const произвольная. Посмотрим, во что перейдут под действием (1) непр ф-и: 1) u=C {x=x(C,v,w), {y=y(C,v,w), {z=z(C,v,w) - исключаем из этой сист v,w – получим Ф₁=(x,y,z,C)=0 – ур-е 1 сем-ва корд пов-й в к-е перейдут корд пл-ти u=C под действ непр ф-й (1). 2) v=C {x=x(u,C,w), {y=y(u,C,w), {z=z(u,C,w) Искл u,w получим Ф₂=(x,y,z,C)=0 – ур-е 2 сем-ва корд пов-й в к-е перейдут корд пл-ти v=C под действ непр ф-й (1). 3)w=C {x=x(u,v,C), {y=y(u,v,C), {z=z(u,v,C) Ф₃=(x,y,z,C)=0 – ур-е 3 сем-ва корд пов-й в к-е перейдут корд пл-ти u=C под действ непр ф-й (1). Вывод: если в пр-ве отнесенном к д.с.к. (u,v,w) провести корд пл-ти, то в пр-ве, отнесенном к д.с.к. (x,y,z), они отобразятся с помощью сист непр ф-й (1) в 3 сем-ва корд пов-й.

Рассм опред 3го пор-ка след вида: J(u,v,w)= (2)

☼ Определитель 3го порядка вида (2) наз-ся якобианом перехода от д.с.к. к криволинейным и обозначается след образом: J(u,v,w) f(x,y,z)dxdydz= f[x(u,v,w), y(u,v,w), z(u,v,w)]* |J(u,v,w)|dudvdw – ф-ла перехода от декарт корд к криволинейным. Зам-е: 1)На практике рассм не 2 коорд пр-ва, а 1 – совмещенное. 2) аналогичн процесс относительно криволин корд можно провести и для двойн интегралов. Ф-лы (1) ф-лы связи, между дек и крив корд.

27. Цилиндрическая система координат. Вычисление тройных интегралов в ци­линдрической системе координат.

(x,y,z) – однозначно опред полож т.М в пр-ве. Рассм тройку чисел (φ,ρ,z) – тоже опред полож т в пр-ве. (φ,ρ.z) – цилиндрич корд.

0≤φ≤2π, 0≤ρ<+∞, -∞<z<+∞ Цикл сист корд=полярная+прямая обычн с.к.

Если на xoy спроэцир – взаимно однозначн ф-лы {x=ρcosφ, {y=ρsinφ, {z=z – ф-лы связи между Декарт и циклич сист корд

1) φ=С {x=ρcosС, {y=ρsinС, {z=z - Искл из сист ρ и z. y/x=tgC, y=x*tgC – ур-е 1 сем-ва корд пов-й в к-е перешли φ =C под действ ф-л перехода. – сем-во пл-тей, проходящих ч/з ось аппликат z. 2) ρ=С {x=Сcosφ, {y=Сsinφ, {z=z Искл φ и z x²+y²+C² – сем-во цилиндр пов-й с образующ, || оси аппликат (oz) и направляющей окружностью в центре (нач коорд) 3)z=C – сем-во пл-тей, || корд пл-ти хоу.

Якобиан перехода:

☼J(φ,ρ,z)= - наз-ся Якобианом перехода от д.с.к. к цилиндрич и обознач след образ J(φ,ρ,z). Вычисляем J(φ,ρ,z)= = - ρsin²φ –ρcos²φ= -ρ*1= -ρ. J(φ,ρ,z)= -ρ. | J(φ,ρ,z)|=ρ. –якобиан перехода от д.с.к. к цикл с.к. ∫∫∫ по телу V f(x,y,z)dxdydz= f’(ρcos φ, ρsin φ,z) ρdφdρdz – ф-ла перехода от д.с.к. к цилиндрич.