- •Комплексные числа. Геометрическая интерпретация комплексных чисел.
- •13. Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка. Задача Коши. Теорема Коши. Общее и частное решения.
- •Дифференциальные уравнения первого порядка: с разделенными переменными, с разделяющимися переменными, однородные, линейные, уравнения Бернулли.
- •Дифференциальные уравнения высших порядков. Задача Коши. Теорема Коши.
- •Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка.
- •Линейная зависимость и линейная независимость системы функций. Определитель Вронского. Необходимое условие линейной зависимости системы функций.
- •Линейный дифференциальный оператор. Свойства решений однородных линейных дифференциальных уравнений п - го порядка.
- •Необходимое и достаточное условие линейной независимости частных решений однородных линейных дифференциальных уравнений п - го порядка.
- •Структура общего решения однородных и неоднородных линейных дифференциальных уравнений n - го порядка.
- •Метод вариации произвольных постоянных.
- •Решения однородных линейных дифференциальных уравнения п - го порядка с постоянными коэффициентами в зависимости от корней характеристического уравнения.
- •Метод подбора частного решения неоднородных линейных дифференциальных уравнений п - го порядка. Метод суперпозиции решений.
- •Двойные интегралы и их свойства. Теорема о среднем. Вычисление двойных интегралов в декартовой системе координат.
- •Полярная система координат. Переход в двойных интегралах от декартовой системы координат к полярной системе координат. Вычисление двойных интегралов в полярной системе координат.
- •Приложения двойных интегралов.
- •Тройные интегралы и их свойства. Теорема о среднем. Вычисление тройных интегралов в декартовых координатах.
- •Криволинейные координаты в пространстве. Переход в тройных интегралах от декартовой системы координат к криволинейной системе координат.
- •Цилиндрическая система координат. Вычисление тройных интегралов в цилиндрической системе координат.
- •Сферическая система координат. Вычисление тройных интегралов в сферической системе координат.
- •Приложения тройных интегралов.
- •Криволинейные интегралы первого и второго рода. Формула Грина.
- •Поверхностные интегралы первого и второго рода. Формула Остроградского - Гаусса.
- •Векторные функции скалярного аргумента.
- •Скалярное поле. Поверхности уровня, линии уровня.
- •Производная по направлению. Градиент скалярного поля.
- •Векторное поле. Векторные линии.
- •Поток векторного поля. Дивергенция векторного поля. Векторная запись формулы Остроградского - Гаусса.
- •Линейный интеграл. Циркуляция векторного поля.
Дифференциальные уравнения первого порядка: с разделенными переменными, с разделяющимися переменными, однородные, линейные, уравнения Бернулли.
Д.У. 1 пор с разделенными переменными. ☼ Д.у.1 п. вида: P(x)dx+Q(y)dy=0 (4) p(x)+Q(y)*dy/dx=0 (5) называются с разделенными переменными, где p(x) непрерывна на (a,b) – F(x) – первообразная, Q(y) непрерывна на (c,d) – Φ(y) – первообр.
(F(x))’=P(x) x (a,b), (Ф(y))’=Q(y) y (c,d). т.к. P(x) непр на (a,b), Q(y) непр на (c,d). , . Поэтому от Ур-я (5) можно перейти к (4). (F(x))’dx+ (Ф(y))’dy=0, dF(x)+dФ(y)=0, dF(x)= -dФ(y) F(x)= -Ф(y)+C. ,
Д.У. 1 пор с разделяющимися переменными ☼ Д.У. 1 порядка вида: P1(x)Q2(y)dx+ P2(x)Q1(y)dy=0 (*), где P1(x), P2(x) непр на (a,b), Q1(y), Q2(y) непр на(c,d) - наз-ся Д.У с разделяющимися переменными.
Решаются:
1)Q2(y)≠0, P2(x)≠0, тогда (*) домножим на |* 1/[Q2(y)P2(x)]. Тогда от Д.У. с разделяющимися переем перешли к Д.У. с разделенными переменными: , .
2)Q2(y)=0, y=yK, P2(x)=0, x=xN , то -общий интеграл, y=yK, x=xN – решение для Q2(y)P2(x)=0.
Однородные дифференциальные ур-я 1 порядка. ☼ f(x,y)- наз-ся однородной функцией k-го порядка, если для любого λ отличного от 0 (λ≠0) выполняется f(λx, λy)= λKf(x,y). Н-р, f(x,y)= x2y-xy2, f(λx, λy)=( λx)2 λy- λx(λy)2= λ3[x2y-xy2] – однородная ф-я 3го порядка.
☼ f(x,y) – однородная ф-я нулевого порядка, если для любого λ≠0 выполняется f(λx,λy)=f(x,y). Н-р, f(x,y)= [x3-xy2]/[x2y-y3], f(λx, λy)= λ3[x3-xy2]/ λ3[x2y-y3]= [x3-xy2]/[x2y-y3] – однор ф-я нулевого порядка (1=λ0)
Теорема: f(x,y) – однор ф-я нулевого порядка т и т т, когда эту ф-ю можно представить в виде ф-и зависящей от отношения y/x. Док-во: ( f(x,y) – однор ф-я нулевого порядка ↔f(x,y)=φ(y/x) ). Необходимость: Дано: f(x,y) одн ф-я 0 пор-ка, что можно представить: λ=1/x f(1,y/x)=f(x,y); λ≠0 f(λx, λy)= f(x,y) f(x,y)= φ(x,y) Ч.т.д. Дост-ть: Дано: f(x,y)= φ(y/x) Док-ть: одн ф-я 0 пор-ка. λ≠0 f(λx, λy)= φ(λy/ λx)= φ(y/x)=f(x,y) →f(x,y) – однор ф-я 0 пор-ка Ч.т.д.
y’=f(x,y) (2)- Д.У. 1порядка,разрешенное относительно производной.
☼ Д.у. (2) y’=f(x,y) – наз-ся однородным, если ф-я f(x,y) является однородной ф-ей нулевого порядка. y’= φ(y/x), ( z(x)= y(x)/x - замена) y=xz y’=z+xz’ z+xz’=φ(z) x*(dz/dx)=φ(z)-z - Д.У. 1 пор с раздел-ся переменными. dz/[φ(x)-z]=dx/x - Д.У. 1 пор-ка с раздел-ми переменными. Ф(z)=ln|x|+ln|C| Ф(z)= ln|Cx| Ф(y/x)= lnC|x| - если φ(z)-z ≠0. если (φ(z)-z)=0, z=zJ, j=1n. Тогда к общему интегралу добавить потерянные решения {Ф(y/x)=lnC|x|, {y=xzJ, j=1n.
Зам-е: Д.У. вида: P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0, где P(x,y), Q(x,y) - однор диф ф-и одного и того же порядка. – также является одн Д.У. 1порядка dy/dx= - [P(x,y)/Q(x,y)]. Т.к. P(x,y)/Q(x,y) – однор ф-я нулевого порядка.
Линейные диф ур-я 1го порядка ☼ Д.У. 1 пор вида: y’+P(x)y=Q(x) (6), где P(x), Q(x)-непр ф-и на нек промежутке (a,b) – наз-ся линейное Д.У. 1 порядка. Зам-е: если правая часть Q(x)=0, причем=0 в любой точке (a,b) (Q(x)≡0, x (a,b)), то ЛДУ 1 порядка – однородное, в противном случае – неоднородное. y’+P(x)y=0 (7) – ОЛДУ 1 порядка, y’+P(x)y=Q(x) – НЛДУ 1 порядка. Покажем, что для ур-я (6) разрешима любая задача Коши, если x0 (a,b), y0 R. Разрешаем ур-е относительно производной: y’=Q(x)-P(x)y, (Q(x)-P(x)y=f(x,y)). 1) ф-я определена и непр на δ(x0,y0); 2) частная произв по у - ∂f/∂y= -P(x) – непр на δ(x0,y0). На интервале (x0-δ,x0+δ) существ единств !y=φ(x), такое что φ(x0)=y0. Решаем методом вариации произвольной постоянной(метод Лагранжа). Сначала рассмотрим соотв ОЛДУ (7) – ур-е с разд переменными: y'=p(x)y. Получаем: dy/y= -p(x)dx, ln|y|= - , C>0. ln|y/c|= - , |y|= Ce^(- ). {y=±Ce^(- ), C≠0 {y=0.
yOO=Ce^(- ), C R – общее решение ОЛДУ (7).
Для решения ур-я (6) yOH=С(x)e^(- ), C R . Найти производные, подставить в ур-е y’=C’e^(- )+ Ce^(- )(-P(x)); (-P(x)) – производная показателя ф-и. C’e^(- ) – P(x)Ce^(- ) +P(x)CE^(- )=C’e^(- )=Q(x) → C’= Q(x)e^( ) → C(x)= . Подставим значение С(х) в yOH=[ ]*e^(- ).
yOH=e^(- )* + Ce(- ). 1е слагаемое – у частное неоднородное, 2 слагаемое – у общ однор.
Общее решение уОН НДЛУ 1 порядка= сумме общих решений соответствующего однородного и какого-либо частного решения неоднородного. Зам-е: НЛДУ (6) на практике решают заменой. y’+p(x)y=Q(x) – y(x)=u(x)*v(x)
Ур-е Бернулли Д.У.1 пор вида: y’+P(x)y=Q(x)yα (#), α R, α≠0,α≠1. Если α=0 – НЛДУ, α=1 ДУ с разделяющимися переменными. Ур-е Бернулли разделим на yα. Получим: 1/y2*y’+P(x)y1-α=Q(x), z=y1-α, z’=(1-α)y –α*y’, 1/(1-α)*z’+P(x)z=Q(x) – ОЛДУ 1 пор-ка относительно ф-и z. Z=Ф(x,C). y1-α=Ф(x,C). Зам-е: 1) На практике ур-е Бернулли можно не сводить к линейному,а сразу решать заменой y=uv. 2) Наряду с лин ур-ми и ур-ми Бернулли y(x) можно рассматривать относительно х=х(у). x’+P(y)x=Q(y) – ЛДУ 1 порядка, относительно х=х(у), где P(y),Q(y) – непр на (c,d); x’+P(y)x=Q(y)*xα, α R, α≠0, α≠1.