20. Метод вариации произвольных постоянных.

Метод Лагранжа – метод вариации произвольн постоянных.

ОЛДУ соответствующее НЛДУ L[y]=0 (2’) L[y]=f(x) (1’) у_ОО= С₁у₁+С₂у₂+…+С_nу_n - соотв решение ОЛДУ у_ОН= С₁(х)у₁+С₂(х)у₂+…+С_n(х)у_n, у’=(С₁’у₁+С₂’у₂+…+С_n’у_n)+(С₁у₁’+С₂у₂’+…+С_nу_n’) у’’=(С₁’у₁’+С₂’у₂’+…+С_n’у_n’)+(С₁у₁’’+С₂у₂’’+…+С_nу_n’’)

у⁽ⁿ⁾=(С₁’у₁^(n-1)+С₂’у₂^(n-1)+…+С_n’у_n^(n-1))+(С₁у₁⁽ⁿ⁾+С₂у₂⁽ⁿ⁾+…+С_nу_n⁽ⁿ⁾) y⁽ⁿ⁾+k₁(x)y^(n-1)+…+k_n(x)y=f(x) (1) (С₁’у₁^(n-1)+…+С_n’у_n^(n-1))+(С₁у₁⁽ⁿ⁾+…+С_nу_n⁽ⁿ⁾)+k₁(x)(С₁у₁^(n-1)+…+С_nу_n^(n-1))+…+k_n(x)(С₁у₁+…+С_nу_n)= f(x). (С₁’у₁^(n-1)+…+С_n’у_n^(n-1))+(С₁L[у₁]+С₂L[у₂]+…+С_nL[у_n])=f(x), у₁, y_n – ФСР. C_i(x) – не нашли, а для их произв только

(5) Сист л.ур. относ С’_i. Глав опред ∆=W≠0, x (a,b) →единств решение C₁’(x)=φ₁(x), C₂’(x)=φ₂(x),…, C_n’(x)=φ_n(x). Тогда C₁(x)= +C₁, …, C_n(x)= +C_n y_OH=( +C₁)y₁+…+( +C_n)y_n. y_OH=(С₁у₁+…+С_nу_n)+ (y₁ +…+y_n )=y_OO+у_ЧР Доказали теор. Если y₁,…,y_n ФСР ОЛДУ n-го порядка (2) или (2’).C₁(x)…C_n­(x) – ф-и такие,что удовлетворяют системе (5), то у_ОН=С₁(х)у₁+…+C_n(x)y_n - общее решение НЛДУ (1), (1’). Частный случай при n=2. y”+k₁(x)y’+k₂(x)y=f(x) (*) (6) Если y₁,y₂ – ФСР ОЛДУ (2),(2’), С₁(х), С₂(х) – ф-, решения сист (6), то ф-я y=C₁(x)y₁+C₂(x)y₂ – общ реше НЛДУ (*)

20. Решения однородных линейных дифференциальных уравнения п - го порядка с постоянными коэффициентами в зависимости от корней характеристического уравнения.

ОЛДУ n-го порядка с постоян коэф-тами y⁽ⁿ⁾+a₁y^(n-1)+…+a_ny=0 (**), a_i, i=1n – известные действ числа, a_i R y=e^λx, y⁽ⁿ⁾=λⁿe^λx, λⁿe^λx+a₁λ^n-1e^λx+…+a_ne^λx=0, |:e^λx лев и прав часть. λⁿ+a₁λ^n-1+…+a_n=0 (7) Доказали, если y=e^λx – решение ОЛДУ n с пост коэфф (λх), λ – корень характеристического ур-я (7). Справедливо и обратное. Имеет место след теор: Для того, чтобы e^λx – решение ОЛДУ n порядка (**) необх и дост чтобы λ – корень характеристич ур-я (7). Лев часть – характерестич многочлен.

1) λ₁,...,λ_n – действ различн корни характ ур-я (7) простыми, встречаются один раз (k=1) λ_i ≠λ_j, i ≠j (8) решения: у₁=е^λ1х,…,у_n=е^λnх. x (a,b). Надо общ решение ОЛДУ. Нужна ФСР. Окажем методом полн матем индукции, что решения лин незав: 1) e^λ1x,e^λ2x Дост-ть: лин нез (-∞,+∞) α₁е^λ1х+α₂е^λ2х=0 |1/e^λ2x, α₁e^(λ₁-λ₂)x +α₂=0, α₁(λ₁-λ₂)e^(λ₁-λ₂)x =0 В силу условия (8) следует лин комб α₁е^λ1х+α₂е^λ2х=0, {α₁=0, {α₂=0, x (-∞,+∞). 2) Предполагаем, что решения: е^λ1х,…,е^λnх – лин незав, x (-∞,+∞) 3) Доказать, е^λ1х,…,е^λ(k+1)х – лин незав, x (-∞,+∞) Cост лин комб ф-й α₁е^λ1х +…+α_ke^λkx +α_k+1e^λ(k+1)x =0 (9), |1/e^λ(k+1)x α₁e(^λ1-λk+1)^x +…+α_ke^(λk-λk+1)x +α_k+1=0. Диф-ем почленно: α₁(λ₁-λ_k+1)е^(λ1-λk+1)x +α_k(λ_k-λ_k+1)е^(λk-λk+1)x=0. По усл (8) и вспомнив Т о необх усл лин завис сист ф-й. По предположению – сист лин независ α_k-l=0, α₁²+…+ α_k²=0, α_i=0, i R. По (9) получаем α_k+1=0. Т и т т (9)=0, α_k-l=0. По опред независ сист. Ч.т.д. Таким образом система e^λ1х,…,е^λnх образует ФСР. Общ реш: y_OO=C₁e^λ1x+C₂e^λ2x+…+C_ne^λnx. Вывод: Если λ –корень характер ур-я – действит прост, ур-я (7), то в общем решении ОЛДУ с пост коэф (**) ему соотв слагаемое Ce^λx, c произв постоянной.

2) Пусть α+iβ – корень характер ур-я (7). В силу того,что коэф –деуствит известные ч-ла, то α-iβ – тоже корень хар ур-я (сопряженное ч-ло с α+iβ). Пусть y₁=e^(α+iβ)x, y₂=e^(α-iβ)x (●)– это комплекснозначные решения. Их принято выражать через веществ ф-и с помощью ф-лы Эйлера. e^{i a x}=cos ax+i*sin ax (11) a ^{–i a x}=cos ax-i*sin ax (12). e^(α+iβ)x= e^{αх+ iβx}, e^(α+iβ)x=е^αх(cos βx+i*sin βx) (13), e^(α-iβ)x=e^αx(cos βx -i*sin βx) (14). Сложим лев части 13 и 14. е^αхcos βx= ½ [e^(α+iβ)x+ e^(α-iβ)x] (15) Если вычтем - e αxsin βx= 1/(2i) [e^(α+iβ)x - e^(α-iβ)x] (16) Из 15, 16 очевидно, что e^αxcos βx, e^αxsin βx – решения ур-я ОЛДУ n с пост коэф (**). Если берем сист решения и два комплексозначн решения (●) заменить на веществ решения (17), то получ сист реш лин незав и образует ФСР y_OO=C₁e^αxcosβx+C₂e^αxsinβx. Вывод: Если (α±iβ) пара компл сопряжен чисел являются прост корнями характер ур-я (7), то в общ решении ОЛДУ n-го порядка с пост коэф-ми (**) им соотв 2 слагаемых C₁e^αxcosβx+C₂e^αxsinβx

3) Пусть α – корень характ ур-я кратности k. Построим ФСР. Допустим k решениям λ будет соответствовать e^λ1x…e^λ1x –k раз. x (-∞,+∞) – нет ФСР, тогда отбросим из k тождеств решений (k-1). Было k тождеств реш-й, k-1 отбросили. В системе решений осталось n-k+1 решений e^λ1x, xe^λ1x…x^n-1e^λ1x (20) также решения ОЛДУ n-го пор (**). λ- корень кратности k. Покажем это на примере ОЛДУ 2 порядка. y”+py’+qy=0. Пусть a-корень, λ=a – хар ур-я кратности 2. λ²+p λ+q=0 По Т Виета: p=-2a, q=a², y”-2ay’+a²y=0 (19) Решение ур-я: у₁=e^ax, y₂=xe^ax. y₂’=e^ax+axe^ax=e^ax(1+ax), y₂”=ae^ax(1+ax)+e^axa=e^ax(2a+a²x). Подставляем решение в ф-ю - xe^ax д.у. (19) и почленно разделим на e^ax. 2a+a²x-2a(1+ax)+a²x=0, 2a+2a²x-2a-2a²x=0, 0≡0. Таким образом система ф-й (20) является решением ОЛДУ (**). Можно показать,ч то лин независ и не образует ФСР для (**). K n-k+1 решению добавляем k-1 решение, получим тогда n решений. И эта сист решений – лин независ и образует ФСР. Вывод: если λ-корень хар ур-я (7) кратности k, то в общ решении ОЛДУ (**) ему соответст k слагаемых. C₁e^λx+C₂xe^λx+…+C_kx^k-1e^λx= e^λx(C₁+C₂x+…+C_kx^k-1).

4) λ-действ или компл корень. Рассмотрим случай, если α±iβ –корень характ ур-я (7) кратности k. Им соотв e^(α+iβ)x, xe^(α+iβ)x,…, x^k-1e^(α+iβ)x e^(α-iβ)x, xe^(α-iβ)x,…, x^k-1e^(α-iβ)x (21)комплексозначн заменяем веществ решениями (15,16) е^αхcos βx= ½ [e^(α+iβ)x+ e^(α-iβ)x] e^αxsin βx= 1/(2i) [e^(α+iβ)x - e^(α-iβ)x]. Умножим на x^j x^j е^αхcos βx= x^j/2 [e^(α+iβ)x+ e^(α-iβ)x] (22) e^αxsin βx= x^j /(2i) [e^(α+iβ)x - e^(α-iβ)x] (23), j=0,(k-1). Из (22,23) очевидно что {e^αxcos βx, xe^αxcos βx,…, x^k-1e^αxcos βx {e^αxcos βx, xe^αxcos βx,…, x^k-1e^αxcos βx (24) эти ф-и – решения ур-я (**). Итак В сист решений (**) 2k комплексозначн решений (21) мы заменим 2k веществ решений (24). Можно доказать, что получ сист решений линейнонезавис и образует ФСР. Вывод: Если пара компл сопряж чисел α±iβ являются корнями характ ур-я (7) кратности k, то в общем решении им соответствует 2k слагаемых C₁e^αxsin βx+C₂xe^αxsin βx+…+C_kx^k-1e^αxsin βx+…+ C_k+1e^αxcos βx+C_k+2xe^αxcos βx+…+C_2kx^k-1e^αxcos βx.