27. Поверхностные интегралы первого и второго рода. Формула Остроградского - Гаусса.

Рассм нек пов-ть σ возьмем люб т. т.Р σ. Ч/з эту т проводим замкнутый контур, непересекающий границы этой обл-ти. т.Р (l) В этой т проводим нормаль и зафиксируем 1 из направлений нормали. Будем перемещать вектр нормали по контуру l.Кажд т кривой l приписываем определенное направление нормали. После обхода вектор возвращается в т.Р. Два случая: 1) вект нормали совпадает с первоначальным вектором – σ- двухсторонняя поверхность. 2) вект нормали ↓↑(противоположно напр) начальному – односторонняя пов-ть.( Пов-ть Мебиуса: взять прямоугольник, перекрутить 1 раз и склеить концы А и С, В и Д. Раскрасить всю пов-ть цветом можно не пересекая границы пов-ти). В дальнейшем будем рассматривать только двухстор пов-ти.

Пусть в пр-ве задана нек гладк(кусочно-гладк) пов-ть σ, ограниченная кусочно-гладк контуром.Определена ф-я f(P), т.P ( σ). Построим инт сумму. Произв образом разобьем на элемент пов-ти (∆σ₁),….( ∆σ_n). Площадь кажд обл-ти: ∆σ₁,…, ∆σ_n. Диаметр обл-ти тела – наиб расст межд 2мя точками. В кажд элем пов-ти выбираем диаметр d₁,…d_n. max(d₁,…d_n)=d. В кажд элем пов-ти произвольн образом выбираем точку M_K­(x_K,y_K,z_K) (∆σ_K), k=1n, Произведение: f(x_K­,y_K,z_K)* ∆σ_K, k=1n. Составим сумму: f(x₁,y₁,z₁) ∆σ₁+…+f(x_n,y_nz_n)∆ σ_n= ∆σ_K (1). Cумма (1) инт сумма для по винт 1 рода ф-и f(P) по пов-ти σ.

☼ Если при стремлении к 0 наиб из диам, существует конечный предел инт суммы (1)(послед инт сумм), и этот предел не зависит ни от способа разбиения пов-ти на эл-е, ни от выбора точек на кажд из них, то наз-ся поверхностным интегралом 1 рода по пов-ти σ. f(P)dσ - Инвариантн опред, в сист координат: = , без выбора сист коорд: = .

Т Дост усл сущ-я пов-го инт 1 рода Если ф-я f(P) непр на куочн-гладк пов-ти σ,то существ пой-й интеграл 1 рода для этой ф-и f(P)dσ. Зам-я: 1) Св-ва по винт 1 рода аналогичны св-вам крив инт 1 рода. 2) Если подинтегра ф-я = 1 на всей пов-ти, то по винт 1 рода= площ пов-ти. dσ=S_σ , 3) Если ф-я μ – пл-ть распределения массы по пов-ти σ, то по винт 1 рода от этой ф-и выражает массу этой пов-ти μ(x,y,z)dσ= m_σ

Вычисление по винт 1 рода:

Т Если вып след усл-я: 1) ф-я f(x,y,z) непр на кус-гладк пов-ти σ, 2) ур-е пов-ти σразрешимо относительно одной из переменных z=φ(x,y), 3) ф-я φ(х,у) имеет непр частн произв 1го порядка в обл-ти D, где обл-ть D – обл-ть на к-ю однозначно проэктируется пов-ть σ в пл-ти хоу, то пов-й инт 1 рода: f(x,y,z)dσ= f(x,y, φ(x,y)) . Аналогично проэктир в другие пл-ти: 1) yoz x=h(y,z) f(x,y,z)dσ= f(h(y,z),y,z) 2) xoy y=ψ(x,z) f(x,y,z)dσ= f(x,ψ(x,z),z)

Поверхностн инт 2 рода

Пусть σгладк пов-ть на к-й выбрана 1 из 2х сторон, определяемая направлением нормали. n(cosα, cosβ, cosγ) – углы нормали с осями. Пов инт 2 рода от непр ф-и R(x,y,z) по коорд (х,у) выражается через рассмотренный выше пов инт 1 рода след образом: R(x,y,z)dxdy= R(x,y,z) cosγdσ Q(x,y,z)dxdz= Q(x,y,z) cosβdσ P(x,y,z)dydz= P(x,y,z) cosαdσ

Обычно рассматривают сумму интегралов: R(x,y,z)dxdy+ Q(x,y,z)dxdz+ P(x,y,z)dydz. Пов инт (2 рода) по коорд. обладает всеми св-вами пов инт 1 рода, за исключением одного: при изменении стороны пов-ти знак изменяется на противоположный. Пов инт по коорд вычисл след образ 1) Пусть пов-ть σ взаимнооднозначн проэктируется в обл-ть D₁ пл-ти хоу. z=φ (x,y) – ур-е пов-ти,

R(x,y,z)dxdy= ± R(x,y, φ(x,y))dxdy, cosγ>0 “+” , cosγ<0 ”–“ y=ψ(x,z) - Q(x,y,z)dxdz= ± Q(x, ψ(x,z),z)dxdz, D₂ – обл-ть пл-ти xoz, в к-ю проэктир взаим-однозначн пов-ть cosβ>0 “+” , cosβ<0 ”–“ x=h(y,z) P(x,y,z)dydz= ± P(h(y,z),y,z) dydz D₃ - yoz cosα>0 “+” , cosα<0 ”–“.

Зам-е: в более сложн случаях пов-ть σ разбивается на пов-ти, обладающие указ св-вами.

Рассм прав трехмерн обл-ть V, ограничивающ замкн пов-ть σ. Пусть ф-и P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z) cо своими частн произв ∂P/∂x, ∂Q/∂y, ∂R/∂z непр в обл-ти V. Тогда имеет место ф-ла, устанавливающая связь между 3м инт по обл-ти V и 2м инт по пов-ти σ (*)

(∂P/∂x+ ∂Q/∂y+ ∂R/∂z)dxdydz= [P(x,y)cosα+ Q(x,y)cosβ+ R(x,y,z)cosγ]dσ - ф-ла Остроградского-Гаусса, где σ-внешн сторона замкнутой пов-ти, ограничивающей тело V. α, β, γ – углы, к-е составляет внешняя нормаль n с соотв осями координат ox, oy, oz. (*) дивергенция векторного поля.