13. Необходимое и достаточное условие линейной независимости частных реше­ний однородных линейных дифференциальных уравнений п - го порядка.

Рассм ОЛДУ L[y]=0 Теорема: Для того чтобы сист частн решений ОЛДУ n-го порядка была линейно независима: y₁,y₂,…y_n на (a,b) необх и достаточно, чтобы определитель Вронского был отличен от нуля в любой точке (a,b). Док-во: Необх: Сист частн реш-й независима. От противного. Пусть хотя бы 1 т в к-й определитель Вронского=0. x₀ (a,b), W[y₁,…,y_n]= =0, Рассм сист ур-й вида: (*), где неизвестны произв постоянные c₁,…,C_{n .} Мы предположили, что ∆=W[y₁(x₀),…,y_n(x₀)]=0. Тогда есть нетривиальное решение (ненулевые). С₁⁰,…,C_n⁰. y=С₁⁰y₁+…+C_n⁰y_n – решение ОЛДУ n-го порядка, но известно, что однор сист имеет нулевое решение всегда. По Т Коши: существ единств реш. Согласно сист (*) y(x₀)=0, y’(x₀)=0,…,y^(n-1)(x₀)=0 – задача Коши поставлена, условия выполняются →единственное решение. Они совпадают С₁⁰y₁+…+C_n⁰y_n=0, х (a,b), С₁⁰ – ненулевые. По опред вывод – система зависима, а по усл – независима. Противоречие. Предположение неверно. Дост-ть: ∆=W≠0. Сист лин завис? Предположим,что сист ф-й лин завис на (a,b), тогда ∆W=0. На люб интервале (a,b) – противоречие. Ошибка в предпол→лин независ сист. Ч.т.д. Зам-е: Если y₁,y₂,…,y_n – решения ОЛДУ на (a,b) и хотя бы в 1й т. инт (a,b) ∆=W≠0, то он будет отличен от нуля в любой т (a,b).

20. Структура общего решения однородных и неоднородных линейных диффе­ренциальных уравнений n - го порядка.

Фундаментальная система решений ОЛДУ n-го порядка

Рассм y⁽ⁿ⁾+k₁(x)y^(n-1)+…+k_n-1(x)y’+k_n(x)y=0 (2) или l[y]=0 (2’).

☼ Любая лин независ сист частн решений ОЛДУ n-го порядка наз-ся фундаментальной системой решений (ФСР)этого ур-я.

Т о структуре общ решения ОЛДУ. Если y₁,y₂,…y_n - ФСР ОЛДУ. С₁, С₂,…,С_n – произв пост, то обще решение ур-я имеет вид: У_ОО=С₁у₁+С₂у₂+…+С_nу_n Д-во: по опред общ решения докажем – 1) для любых фиксир знач С - С₁=С₁⁰, С_n=C_n⁰ является решением ур-я. у=С₁⁰у₁+С₂⁰у₂+…+С_n⁰у_n. Подставим в ур-е в силу линейности оператора. L[С₁⁰у₁+С₂⁰у₂+…+С_nу_n]= С₁⁰L[у₁]+С₂L[у₂]+…+С_nL[у_n]. y₁,…y_n – решения L[y_i]=0. Следовательно ф-я – решение. 2) Для люб возм нач усл x₀, y₀,y₀’_,…y₀^(n-1) можно найти такие C₁=C_1, C₂=C₂,…, C_n=C_n, что у= С₁у₁+С₂у₂+…+С_nу_n является решением соотв задачи Коши с нач усл у(х₀)=у_0, у’(x₀)₌y₀’,…,y^(n-1)(x₀)=y₀^(n-1). Рассм сист лин ур-й , главн определитель ∆=W[y₁(х₀),…,y_n(х₀)]≠0, x (a,b), у₁….y_n –ФСР лин незав → ∆W≠0, x (a,b), C₁,C₂,C_n –единств решение. у= С₁у₁+С₂у₂+…+С_nу_n -решение задачи Коши. Ч.т.д.

Структура общ решения НЛДУ n-го порядка

Т о структуре общ решения НЛДУ n-го порядка. Общ решение состоит из суммы общего решения соответствующего однородного и какого либо частн решения неоднор ур-я. у_ОН=у_ОО+у_ЧН. Док-во: По опред общ решения 1) Для люб фиксир произв пост у_ЧН= φ(x). у_ОН= С₁⁰y₁+…+C_n⁰y_n + φ(x), L[y]=f(x) (1’) L[С₁⁰y₁+…+C_n⁰y_n+ φ(x)]= С₁⁰L[y₁]+…+C_n⁰L[y_n]+L[φ(x)]=f(x) → ф-я такого вида – решение (1) или (1’). 2) Возьмем возможные начальные усл x₀, y₀,y₀’_,…y₀^(n-1) можно найти такие C₁=C_1, C₂=C₂,…, C_n=C_n, что у= С₁у₁+С₂у₂+…+С_nу_n является решением соотв задачи Коши с нач усл у(х₀)=у_0, у’(x₀)₌y₀’,…,y^(n-1)(x₀)=y₀^(n-1). Рассм сист лин ур-й , главн определитель ∆=W[y₁(х₀),…,y_n(х₀)]≠0, x (a,b), у₁….y_n – ФСР лин незав → ∆W≠0, x (a,b), C₁,C₂,C_n –единств решение. Тогда у= С₁у₁+С₂у₂+…+С_nу_n -решение соотв задачи Коши с начальн условиями. Ч.т.д.