13. Линейная зависимость и линейная независимость системы функций. Определитель Вронского. Необходимое условие линейной зависимости системы функций.

☼ Сист ф-й {φ₁(x), φ₂(x), φ_n(x)} наз-ся лин. независ. на интервале (a,b), если их лин комбинация тождественно равна нулю(≡0), т. и т.т., когда все α_i=0. α₁φ₁(х)+α2φ2(х)+…+α_nφ_n(x)≡0. x (a,b) т. и т.т. α₁²+α₂²+α_n²=0

☼ Сист ф-й {φ₁(x), φ₂(x), φ_n(x)} наз-ся линейно зависимой на (a,b), если их линейная комбинация тождественно равна 0, при условии,что хотя бы 1 из α_i≠0. . α₁φ₁(х)+α2φ2(х)+…+α_nφ_n(x)≡0. x (a,b) т. и т.т. α_i≠0.

Теор: Критерий лин завис-ти сист ф-й. Для того,чтобы сист ф-й {φ₁(x), φ₂(x), φ_n(x)} была лин завис на инт (a,b) – необходимо и достаточно, чтобы одну из функций можно было представить в виде лин комбинации остальных ф-й. Док-во: Необх α₁φ₁(х)+α₂φ₂(х)+…+α_nφ_n(х)≡0, х (a,b) при усл, что α_i≠0, α₁φ₁(х)= -α₂φ₂(х)/α₁ -…-α_nφ_n(х)/α₁≡0, β_i= -α_i/α₁,тогда α₁φ₁(х)=β₂φ₂(х)+…+ β _nφ_n(х)≡0 Дост-ть: Одну из ф-й представим в виде лин комб φ_K(x)=α₁φ₁(x)+…+α_K-1φ_K-1(x)+α_K+1φ_K+1+…+α_nφ_n. Перенесем в одну сторону: α₁φ₁(x)+…+α_K-1φ_K-1(x) - φ_K(x)+α_K+1φ_K+1+…+α_nφ_n=0 x (a,b), α_K= -1≠0 →лин завис. Ч.т.д. Зам-я: 1) Если среди сист ф-й есть две равные между собой ф-и – сист лин завис; 2) Если среди сист ф-й есть тождественно равные 0(≡0), то сист ф-й лин завис; 3) Если среди ф-й есть 2 ф-и таких что, их отношение, есть величина постоянная, для x (a,b), то такая сист ф-й лин завис. 4) Если 2 ф-и таковы,что их отношение не явл пост величиной для люб х из (a,b), то сист ф-й лин независ.

Определитель Вронского. Необх усл лин завис сист ф-й

Рассм сист ф-й y₁=φ₁(x),…, y_n=φ_n(x) на (a,b) и пусть эти ф-и имеют производные до n-1 порядка включительно на (a,b).

☼ Определитель n-го порядка вида: W[y₁,…,y_n]= наз-ся определителем Вронского и обозначается следующим образом: W[y₁,…,y_n].

Т: Необх усл лин завис сист ф-й: Если сист ф-й y₁,…,y_n лин завис на (a,b) и имеет произв до (n-1)го порядка включительно на (a,b), то определитель Вронского=0 в люб точке интервала (a,b). (y₁,…, y_n – лин завис, произв до (n-1) порядка включительно)↔( W[y₁,…,y_n]=0, x (a,b)). Док-во: Т.к. сист ф-й лин завис по условию, то по Крит лин завис можно представить в виде лин комб: {y₁=α₂y₂+…+α_ny_n, y₁’=α₂y₂’+…+α_ny_n’, … y₁^(n-1)=α₂y₂^(n-1)+…+α_ny_n^(n-1)}. (◙) Берем любое х из инт и фиксируем. Рассм опред Вронс5кого для сист х в в эт т. x (a,b) фиксируем, W[y₁(х),…,y_n(х)]= Но ф-я у₁ и ее произв имеют представление (◙)→ это лин комб остальных столбцов → определитель=0 х (a,b).

13. Линейный дифференциальный оператор. Свойства решений однородных ли­нейных дифференциальных уравнений п - го порядка.

Лин диф-й оператор Рассм 2 лин пр-ва L₁, L₂. ☼Если кажд эл-ту y из L₁ сопост элемент по опред закону z из L₂, то действует оператор A: отображающий L₁ в L₂. y L₁ !z L₂ A: L₁→L₂. z=Ay

☼ Оператор А – линейный, если выполняется 2 условия: 1) y₁, y₂ L₁, A(y₁+y₂)= Ay₁+Ay₂ 2) y₁ L₁, λ R, A(λy)= λ(Ay).

Рассм ЛП С(a,b)={мн-во ф-й непр на (a,b)}, C⁽ⁿ⁾={мн-во ф-й, имеющ непр произв до n порядка включительно на (a,b)}

☼ Если кажд эл-ту у на (a,b) сопост единств эл-т С, такой что z=…, то говорят, что задан диф-й оператор L[y]. y C⁽ⁿ⁾(a,b) !z C(a,b). z=y⁽ⁿ⁾+k₁(x)y^(n-1)+…+k_n-1(x)y’+k_n(x)y. L[y]= y⁽ⁿ⁾+k₁(x)y^(n-1)+…+k_n-1(x)y’+k_n(x)y. Этот оператор линейный. Зам-е: 1) мн-во C(a,b) C⁽ⁿ⁾(a,b) – Л.П. относит операций слож и умножения на ч-ло.

Линейн д.у. n-го порядка

☼ Д.У. вида: y⁽ⁿ⁾+k₁y^(n-1)+…+k_n(x)y=f(x) (1) , k_i(x), i=1n, f(x) непр на (a,b) известные ф-и - наз-ся лин д.у. n-го порядка (ЛДУ n порядка). С помощью ЛД оператора можно (1) записать: L[y]=f(x) (1’), f(x)=0, x (a,b), то ур-е y⁽ⁿ⁾+k₁(x)y^(n-1)+…+k_n-1(x)y’+k_n(x)y=0 (2) – наз-ся однородным ЛДУ n-го порядка. Короткая запись: l[y]=0 (2’). Если f(x)≠0. L[y] – неоднородное ЛДУ n-го порядка. Однородное – нулевое решение всегда решение тривиальное.

Покажем, что для ОЛДУ и НЛДУ n-го порядка разрешима любая задача Коши. Проверим в окр-ти точки M₀(x₀,y₀,y₀’,…,y₀^(n-1)) 1)условие y⁽ⁿ⁾=f(x)-k₁(x)y^(n-1)+…+k_n-1(x)y’+k_n(x)y=F(x,y,y’,…,y^(n-1)) ∂F/∂y= -k_n(x), ∂F/∂y’= -k_n-1(x), ∂F/∂y^(n-1)= -k₁(x), x₀ (a,b), y₀,y₀’,…,y₀^(n-1) – возможные начальные условия, удовл т Коши. Усл Т Коши выполняется→Найдется: частн решение y=φ(x) (x₀-δ,x₀+ δ), φ’(x₀)=y₀’, φ(x₀)=y_0, φ^(n-1)(x₀)=y₀^(n-1). Зам-е:можно показать,что ЛДУ (1) имеет единственное решение задачи Коши не только в окр-ти т х₀, но и на всем интервале (a,b).

Св-ва решений ОЛДУ Имеем ОЛДУ n-го порядка Т1 Если y₁, y₂ являются решениями ОЛДУ (2) или (2’), то их сумма тоже решение этого ур-я. Док-во: L[y₁+y₂]=L[y₁]+L[y₂]=0 →(y₁+y₂) решение (2’).

Т2 Если y – решение ОЛДУ n-го порядка, λ-действ ч-ло, то λу – также решение ОЛДУ. Док-во: L[λy]= λL[y]= λ*0=0 → →y – реш ОЛДУ (2) или(2’). Следствие: если y₁,y₂ – решения ОЛДУ, C₁…C_n – произвольные постоянные, то ф-я равная y=C₁y₁+C₂y₂+…+C_ny_n (3)– является решением ОЛДУ n-го порядка. Зам-е: в общем случае (3) не является общим решением – у₁, у₂=7у_3,…у_n.