1. Комплексные числа. Геометрическая интерпретация комплексных чисел.

☼Компллексное число – ч-ло вида: x+iy, где x,y R(действ ч-ла), (x-действ часть, y-мним часть, i-мнимая единица – i²= -1) и обозначается z=x+iy

☼Два комплексных числа z₁=x₁+iy₁ и z₂=x₂+iy₂ равны тогда и только тогда, когда равны их действительные части и мнимые одновременно.

z₁=x₁+iy₁ x₁=x₂

z₂=x₂+iy₂ y₁=y₂

z₁=z₂

x=Re z (real)

y=Im z (image)

Зам-е: Компл ч-ла нельзя сравнивать между собой, можно только сказать – равны или нет.

☼Компл ч-ло – нулевое (z=0), т. и т.т., когда действ и мнимые части=0

z₁=x₁+iy₁ x=0

z₁=0 y=0

Зам-е: 1)Если y=0, то z=x+iy, z=x, x R – получаем действительное число. z=x, R C –действ подмнож комплексн ч-л

2) x=0, z=iy – чисто мнимые числа.

Рассмотрим геом. интерпр. КЧ. Вводим комплексную пл-ть. Любому компл ч-лу z=a+ib на компл. пл-ти соответств 1 точка с координатой A(a,b). И люб. Т. на компл пл-ти M(x,y) соотв единственное ч-ло z=x+iy. Т.е. существует взаимнооднозначное соответствие между КЧ и т. компл пл-ти.

r=|z|= , tg φ=y/x, φ- аргумент комплексного числа z (φ-arg z).

Необходимо знать еще и четверть в к-й находится число, чтобы знать однозначно. Т.к. r и φ определяют положение неоднозначно.

13. 13. Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка. Задача Коши. Теорема Коши. Общее и частное решения.

☼ Ур-е F(x,y,y’)=0 (1), связывающее между собой независимую переменную х, искомую y и ее производную y’ – обыкновенное дифференциальное уравнение 1го порядка.

Зам-е: 1) Ур-е (1) – обыкн,т.к. искомая ф-я от х. 2) Ур-е (1) – д.у.1го порядка, т.к. наивысший порядок производной, входящей в ур-е первый

☼ Ур-е y’=f(x,y) (2) называется д.у. 1го порядка, разрешенным относительно производной.

☼ Решением д.у.(1), (2) наз-ся ф-я y=φ(x), к-я обращает ур-я в тождество в области его определения. y= φ(x), D, F(x, φ(x), φ’(x))=0, x D, φ’(x)=f(x, φ(x)), x D.

Рассм y’=f(x,y) – д.у. 1го порядка, разрешенное относительно производной y’ и обл-ть D. Возьмем любую т. обл-ти d и зафиксируем. т.М D→М(х,у). Построим луч и угл. Коэф. k_M=f(x,y) (3) Такое построение проведем с любой т. обл-ти D.

☼ Совокупность направлений, определяемых равенством k_M=f(x,y) (3) наз-ся полем направлений, соответствующих д.у.(2).

☼ Кривые, касательные к к-м в кажд т. совпадают с полем направления д.у. (2) – наз-ся интегральными кривыми. Для д.у.(1) геом место точек,в к-х выполняется соотношение y=k=const наз-ся изоклиной данного д.у.

Если y’=x-y - значит можно разрешить относительно произв. k=x-y=C=const –прямые-изоклина. dy/dx= -y/x, y’= -y/x, y’=k=const. –y/x=k, y= -kx.

Изоклины – семейство прямых, проходящих ч/з нач корд - т.(0;0).

При различных k – разные изоклины f(x,y)=k – Ур-е изоклины соответствует значению k.

Одной из осн задач д.у. является задача Коши.

Постановка зад Коши: Найти такое решение y=φ(x) д.у. y’=f(x,y), к-е удовлетворяло бы наперед заданной паре чисел (x₀,y_0­), принадлежащей обл опред ф-и f(x,y), т.е. такое решение, к-е бы при x=x₀ принимало значение φ(x₀)=y₀; (х₀,у₀) –начальная т., φ(х₀)=у₀ – нач усл.

Геометрически решить задачу Коши означает: из семейства интегр кривых выделить единственную, проходящую ч/з т. (x₀,y₀).

Т о существовании и единственности решения задачи Коши.

Если выполн след усл:

1. Ф-я f(x,y)=y’ определена и непрерывна в окр-ти т.(x₀,y₀);

2. Частн произв этой ф-и по y - ∂f/∂y – непрер в окр-ти т. (x₀,y₀); то существует единственное решение y=φ(x) на интервале (x₀-δ, x₀+ δ) диф ур-я (2),к-е имеет вид φ(x₀)=y_0.

Геометрически Т. Коши означает: 1) если условия зад Коши выполняются в нек обл-ти d, то ч/з любую т. обл-ти d проходит единственная интегральная кривая. 2) если не выполняются условия т. Коши в нек обл-ти D, то ч/з эту т. либо проходит ∞ мн-во интегр кривых, либо ни одной.

☼ Нач усл y(x₀)=y₀ для к-го выполняются условия Т Коши называется возможным начальным условием.

☼ y=φ(x,C) – общее решение д.у. (1) или (2) если выполняются след условия: 1) для любого фиксированного значения c=C₀, y=φ(x,C₀) – является решением д.у. (1) или (2).

☼ Для любого возможного начального условия y(x₀)=y₀ существует такое значение C= , что ф-я y=φ(x,C) – явл решением соотв задачи Коши с начальным условием φ(x₀)=y₀ – общее решение.

☼ Решение, полученное из общего при фиксир знач С – частное.

☼ Общее решение, полученное в неявном виде Φ(x,y,C)=0 – называется общим интегралом.

☼ Решение, полученное из общего интеграла при фиксированном значении С – частный интеграл.