13. Дифференциальные уравнения высших порядков. Задача Коши. Теорема Коши.

☼Д.у. n-го порядка называется Ур-е, связывающее между собой независимую переменную х, искомую у и ее производные до n-го порядка. y⁽ⁿ⁾=f(x,y,y’,y”,…y^(n-1)) (2) F(x,y,y’,y”…y⁽ⁿ⁾)=0 (1) Если удается разрешить это ур-е относительно старшей производной, то это Д.У. n-го порядка, разрешенное относительно n-й производной.

☼Ф-я y=φ(x) наз-ся решением Д.У. (1) или (2), если эта ф-я обращает ур-е в тождество на своей обл-ти определения. M₀(x₀,y₀,y₀’,…y₀^(n-1)) – т. пр-ва n+1 измерения.

Постановака задачи Коши (для д.у. n-го порядка на (2)): Пусть требуется найти решения д.у. (2) такое что при х=х₀ оно удовлетворяет n наперед заданным действит числам (y₀,y₀’…y₀^(n-1)) (3) – начальные условия.

Теорема существования и единственности решения задачи Коши: Если д.у. n-го порядка (2) 1)разрешимо относительно n-й производной 2) ф-я f(x,y,y’,…y⁽ⁿ⁾) – непрерывна в окр-ти т M₀ - δ(М₀); 3) существуют частные производные ф-и по у: ∂f/∂y, ∂f/∂y’ ,… ∂f/∂y^(n-1). Непр в т М₀, то существует единственное решение задачи Коши y=φ(x) в окр т.х₀,такое что φ(х₀)=у₀, φ’(x₀)=y₀’,… φ^(n-1)(x₀)=y₀^(n-1).

☼Начальные условия (3) φ(х₀)=у₀, φ’(x₀)=y₀’,… φ^(n-1)(x₀)=y₀^(n-1) удовлетворяющие условиям теоремы Коши, называются возможными начальными условиями.

☼Ф-я у=φ(х,С₁,С₂,…С_n) – наз-ся общим решением д.у. n-го порядка (1)или (2) если выполняются следующие условия: 1) при любых фиксированных значениях произвольных постоянных (С₁=С₁⁰,… С_n=С_n⁰) ф-я y= φ(x,C₁⁰,…C_n⁰); 2) для любых возможных начальных условий x₀,y₀,y₀’,…y₀^(n-1) найдутся такие значения (C₁=C₁⁰,….C_n=C_n⁰), что ф-я у=φ(х,C₁⁰,…C_n⁰) является решением соответствующей задачи Коши с начальными условиями (3) φ(х₀)=у_{0, …} φ^(n-1)(x₀)=y₀^(n-1). – на этом определении строятся док-ва многих теорем.

☼ Частным решением д.у. n-го порядка наз-ся любое решение, полученное из общего при фиксированном значении всех или некоторых произвольных постоянных.

☼ Общ решение, полученное в неявном виде наз-ся общим интегралом Ф(х,С₁,…С_n)=0

☼ Частн решение д.у. полученное в неявном виде называется частным интегралом

13. Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка.

Д.У, высших порядков, допускающие понижение порядка (3 случая) 1. y⁽ⁿ⁾=f(x) (4) y^(n-1)= , где =φ₁(x) y^(n-2)= +C₁x+C₂ y=φ_n(x)+C₁x^n-1+C₂x^n-2+…+C_n – интегрируем n-1 раз.

2.Д.У. вида: F(x,y^(n-1),y⁽ⁿ⁾)=0 – Д.У. n-го порядка, в Ур-и в явном виде нет у. В явном виде отсутствует у. Пользуемся заменой y^(n-1)=p(x), y⁽ⁿ⁾=p’(x), F(x,p,p’)=0 Перешли к д.у. 1го порядка. Решаем.Получаем общий интеграл. Ф(x,p,C)=0, p= φ (x,C). Пришли к 1му типу интегрируем n-1 раз получим решение.

3.Д.У. вида: F(y,y’,y”)=0 – д.у.2 порядка, допускающее понижение степени. В явном виде отсутствует х. Замена: y’=p(y), y”=dp/dy*dy/dx=p*dp/dy. Промежуточное диф-е dy/dx=p F(y,p,p*dp/dy)=0 – д.у. 1 порядка. p= φ(y,C). dy/dx= φ(y,C) dy= φ(y,C)dx dy/[ φ(y,C)]=dx – д.у. 1 пор с разделенными переменными. Проинтегрируем: Ф(x,y,C)=0. Зам-е: При решении задачи Коши для д.у. n-го порядка произвольные постоянные находим по мере их возникновения, т.е. не находя общего интеграла.