- •Комплексные числа. Геометрическая интерпретация комплексных чисел.
- •13. Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка. Задача Коши. Теорема Коши. Общее и частное решения.
- •Дифференциальные уравнения первого порядка: с разделенными переменными, с разделяющимися переменными, однородные, линейные, уравнения Бернулли.
- •Дифференциальные уравнения высших порядков. Задача Коши. Теорема Коши.
- •Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка.
- •Линейная зависимость и линейная независимость системы функций. Определитель Вронского. Необходимое условие линейной зависимости системы функций.
- •Линейный дифференциальный оператор. Свойства решений однородных линейных дифференциальных уравнений п - го порядка.
- •Необходимое и достаточное условие линейной независимости частных решений однородных линейных дифференциальных уравнений п - го порядка.
- •Структура общего решения однородных и неоднородных линейных дифференциальных уравнений n - го порядка.
- •Метод вариации произвольных постоянных.
- •Решения однородных линейных дифференциальных уравнения п - го порядка с постоянными коэффициентами в зависимости от корней характеристического уравнения.
- •Метод подбора частного решения неоднородных линейных дифференциальных уравнений п - го порядка. Метод суперпозиции решений.
- •Двойные интегралы и их свойства. Теорема о среднем. Вычисление двойных интегралов в декартовой системе координат.
- •Полярная система координат. Переход в двойных интегралах от декартовой системы координат к полярной системе координат. Вычисление двойных интегралов в полярной системе координат.
- •Приложения двойных интегралов.
- •Тройные интегралы и их свойства. Теорема о среднем. Вычисление тройных интегралов в декартовых координатах.
- •Криволинейные координаты в пространстве. Переход в тройных интегралах от декартовой системы координат к криволинейной системе координат.
- •Цилиндрическая система координат. Вычисление тройных интегралов в цилиндрической системе координат.
- •Сферическая система координат. Вычисление тройных интегралов в сферической системе координат.
- •Приложения тройных интегралов.
- •Криволинейные интегралы первого и второго рода. Формула Грина.
- •Поверхностные интегралы первого и второго рода. Формула Остроградского - Гаусса.
- •Векторные функции скалярного аргумента.
- •Скалярное поле. Поверхности уровня, линии уровня.
- •Производная по направлению. Градиент скалярного поля.
- •Векторное поле. Векторные линии.
- •Поток векторного поля. Дивергенция векторного поля. Векторная запись формулы Остроградского - Гаусса.
- •Линейный интеграл. Циркуляция векторного поля.
Векторные функции скалярного аргумента.
Рассмотр 2 множ-ва E={t} –действ чисел M={r} –множ-во векторов. Установим соответствие.
☼Соответствие между множествами Е и М, по к-му каждому действ ч-лу из множ-ва Е соотв единств вектор r из М – наз-ся векторной ф-й по скалярному аргументу. t E r M, r=r(t), t E. Если все векторы r привести к общему началу, то концы этих в-в опишут некоторую кривую в пр-ве, к-я наз-ся гадографом вект ф-и. если общ нач всех в-в совместить с началом координат, то ур-е гадографа будет иметь вид: r(t)=x(t)i+y(t)j+z(t)k, а ур-я явл-ся параметр ур-ми гадографа (пространственной кривой) {x=x(t), {y=y(t), {z=z(t), пост в-р n=ai+bj+ck наз-ся пределом вект ф-и скалярн аргумента δ>0, t 0<|t-t0|<δ, |(t)-n|<ε, lim(t-t0) r(t)=n, Теор Для того чтобы вект ф-я скал арг-та r(t) имела предел n в т. t0 необходимо и достаточно, чтобы ({lim(t-t0) x(t)=a, {lim(t-t0) y(t)=b, {lim(t-t0) z(t)=c ) ↔(lim(t-t0) r(t)=n). ☼ВФСА r(t) наз-ся непр в т t0, если предел ф-и в этой точке равен значению ф-и в т t0. lim(t-t0) r(t)=r(t0). Расси ф-ю опред на отрезке [α,β], возьмем люб т., даем приращение ∆t, чтобы не выходило за [α,β] приращ ф-и ∆r(t). r(t) [α,β], t0 [α,β], ∆t≠0, t0+∆t [α,β], ∆r(t)=r(t0+∆t)-r(t0). Построим отношение ∆r(t)/ ∆t. ☼ Если при t-t0 существ конечн предел отношения приращения ∆r(t)/ ∆t – то он наз-ся производной ВФСА в т. t0 и обозначается dr/dt|(t=t0); r’(t0) По определению получили lim(t-t0) ∆r(t)/ ∆t=r’(t0) - это отношение ∆r(t)/ ∆t – вектор направленный в сторону возрастания пар-ра t. Очевидно, что если ∆t→0, т. М-М0 по кривой L, секущая ММ0 стремится занять свое предельное положение касательной. Кривой L в т М0 и в сторону возрастания t отсюда вытекает геом смысл производной ВФСА. Производная ВФСА в т. t0 – есть вектор, направленный по касательной гадографу ВФСА в сторону возрастания пар-ра t в т. соответствующей пар-ру t0. Если {x=x(t), {y=y(t), {z=z(t), t E – параметрич ур-я гадографа, т.е. r(t)=x(t)i+y(t)j+z(t)k, то dr/ dt|t0= r’(t0)=x’(t0)i+y’(t0)j+z’(t0)k - векторное ур-е касат вектора.
Скалярное поле. Поверхности уровня, линии уровня.
Если с кажд т нек-й простр обл-ти (V) связано нек-я величина, то говорят, что задано поле. Если эта величина скалярная, то поле наз-ся скалярным полем температур, давлений. Если эта величина векторная, то поле – векторное(скоростей, силовое) Качеств хар-кой скалярн поля явл-ся пов-ти уровня (линии ур-ня в плоск случае). Векторного поля качественная хар-ка – векторные линии. Пусть дано скалярн поле: u=u(x,yz), к-е имеет непр частн произв, одновременно не обращ в 0.
☼Сов-ть точек обл-ти (V) в к-х ф-я u(x,y,z) сохраняет постоянное значение наз-ся пов-ю u(x,y,z)=C=const уровня u(x,y)=C - пл-ть хоу. Сов-ть этих точек образует нек-ю пов-ть. Вся рассматриваемая обл-ть V заполнена пов-тями ур-ня. Очевидно, что пов-ти ур-ня не пересекаются между собой.
☼Вект линией вект поля наз-ся кривая, направление к-й в кажд ее точке совпадает с напр вектора, отвечающего этой точке. F=F(p), т.Р (V).
F(x,y,z)=P(x,y,z)i+Q(x,yz)j+R(x,yz)k.
r’(t)=x’(t)i+y’(t)j+z’(t)k dx/ P(x,y,z)= dy/ Q(x,yz)=dz/ R(x,yz) д.у. вект линии (вект поля F(x,y,z)), предположим, что F≠0. Вся рассматриваемая обл-ть V заполнена вект линиями, к-е не пересекаются между собой и ч/з каждую т проходит 1 и только 1 векторн линия.