- •Е.А. Нурминский, л.Т. Ащепков, е.В. Трифонов Математические основы теории финансовых рынков
- •Основные инструменты
- •Облигации
- •Контракты
- •Опционы
- •Основные измерители финансовых рынков
- •Доходность
- •Дисконтирование и приведенная стоимость
- •Риск в финансовых моделях
- •Статическая теория ценообразования (capm)
- •Линия рынка ценных бумаг
- •Общая функция полезности
- •Аддитивность приведенной стоимости
- •Оценка управленческих решений
- •Арбитражная теория ценообразования
- •Оптимальное инвестирование
- •Статическая оптимизация портфеля
- •Основные понятия и обозначения
- •Инструменты или активы
- •Торговые стратегии
- •Мартингалы и возможности арбитража
- •Совершенные рынки и цены опционов
- •Цены и хеджирование опционов
- •Цены и хеджирование европейского опциона
- •Цена американского опциона
- •Биномиальная модель. Мартингализирующая мера
- •Биномиальная модель с точки зрения лп
- •Основные обозначения и постановка задачи
- •Биномиальный случай
- •Простейшее обобщение биномиальной модели: случай трех возможных состояний.
Статическая оптимизация портфеля
Пусть портфель инвестора состоит из бумаг в объемах , стоимость которых на рынке составляет . Тогда его суммарная стоимость
и доходность:
|
(21) |
где
Величины представляют собой доли капитала, вложенные в соответствующие активы и очевидно .
Задачу выбора оптимальных пропорций активов для инвестора, избегающего риска, можно сформулировать, как выбор такого набора , что дисперсия доходности (21)( риск ) будет минимальна. Посчитать дисперсию (21) довольно просто:
где -- коэффициент ковариации между доходностями -го и -го активов.
Вводя матрицу , дисперсию можно представить в виде квадратичной формы
зависящей от вектора , являющегося точкой стандартного симплекса
|
(22) |
В зависимости от контекста вектор будет считаться либо строкой, либо столбцом с тем, чтобы соответствующие опреации имели смысл.
Однако, если, например, среди активов инвестора есть безрисковый ( банковский счет ), то для этого актива все коэффициенты ковариации равны нулю и задача минимизации при ограничениях (22) имеет тривиальное решение: необходимо все средства вкладывать в безрисковый актив. Это решение может давать ( как правило даст ) одновременно и наименьшую доходность, что может не устраивать потенциального инвестора. Г. Марковиц предложил дополнить условие минимума дисперсии требованием обеспечить желаемую доходность, что приводит к задаче
|
(23) |
где -- заданный уровень доходности портфеля.
Эта задача уже является проблемой квадратичного программирования, некоторые методы которого рассмотрены в Приложении.
Следует отметить, что практическое использование этого подхода требует знания ковариационной матрицы , непосредственно не наблюдаемой. В действительности она может заменяться на эмпирическую ковариационную матрицу, определенную на основе предыдущих наблюдений и последовательно уточняемую с течением времени. Все это превращает (23) в нетривиальную задачу совместной идентификации ( определения ) и оптимизации ( нахождения ).
Динамические рынки
Динамические модели финансовых рынков имеют особенно важное значение в финансовой математике. Именно эта область теории особенно важна для практики и именно здесь получены особенно глубокие и интересные результаты. В этом разделе приведены некоторые основные достижения финансовой математики: связь между отстутствием арбитража ( возможность получать безрисковую прибыль ) и сущестованием мартингализирующей меры, формулы для цен вторичных ценных бумаг, стратегии хеджирования, численные методы решения задачи определения цен производных ценных бумаг.
Subsections
Основные понятия и обозначения
Инструменты или активы
Торговые стратегии
Мартингалы и возможности арбитража
Совершенные рынки и цены опционов
Цены и хеджирование опционов
Цены и хеджирование европейского опциона
Цена американского опциона
Биномиальная модель. Мартингализирующая мера