- •Е.А. Нурминский, л.Т. Ащепков, е.В. Трифонов Математические основы теории финансовых рынков
- •Основные инструменты
- •Облигации
- •Контракты
- •Опционы
- •Основные измерители финансовых рынков
- •Доходность
- •Дисконтирование и приведенная стоимость
- •Риск в финансовых моделях
- •Статическая теория ценообразования (capm)
- •Линия рынка ценных бумаг
- •Общая функция полезности
- •Аддитивность приведенной стоимости
- •Оценка управленческих решений
- •Арбитражная теория ценообразования
- •Оптимальное инвестирование
- •Статическая оптимизация портфеля
- •Основные понятия и обозначения
- •Инструменты или активы
- •Торговые стратегии
- •Мартингалы и возможности арбитража
- •Совершенные рынки и цены опционов
- •Цены и хеджирование опционов
- •Цены и хеджирование европейского опциона
- •Цена американского опциона
- •Биномиальная модель. Мартингализирующая мера
- •Биномиальная модель с точки зрения лп
- •Основные обозначения и постановка задачи
- •Биномиальный случай
- •Простейшее обобщение биномиальной модели: случай трех возможных состояний.
Основные понятия и обозначения
Финансовая математика развивается в последнее время быстрыми темпами, причем наблюдается тенденция к усложнению используемого в этой области математического аппарата. Если в послевоенные годы использование математики в экономике ограничивалось в основном методами оптимизации (главным образом линейной и квадратичной), то теперь стало модно использовать понятия стохастических процессов: теорию мартингалов и правил остановки. Это направление берет свое начало со знаменитых работ [15,19], за которые М. Шоулс и Р. Мертон получили в 1997 году Нобелевскую премию по экономике. В статьях [15,19] исследовался вопрос о справедливой цене опциона и хеджирующей стратегии. При этом время предполагалось непрерывным и использовался аппарат стохастических дифференциальных уравнений.
В 1976 году Кокс, Росс и Рубинштейн предложили биномиальную модель рынка ценных бумаг с дискретным временем [16]. В этом случае оказалось возможным обойтись без использования сложного математического аппарата, причем формула Блэка-Шоулса для цены опциона получалась с помощью предельного перехода (он аналогичен переходу от биномиального распределения к нормальному в теории вероятностей). Впоследствии эта модель послужила предметом большого числа исследований, в которых рассматривались различные обобщения модели Кокса-Росса-Рубинштейна (CRR).
В данной главе рассамтривается математическая теория некоторых финансовых инструментов в дискретном времени. Моделирование финансовых рынков в случае дискретного времени позволило получить достаточно завершенную математическую теорию финансовых инструментов, отвечающую на основные вопросы, интересующие как рыночных аналитиков, так и практиков. Несмотря на известную условность, эта теория описывает механизмы ценообразования на рынке, определяет оптимальные торговые стратегии, проясняет какими факторами определяются цены основных и производных инструментов.
Основным рабочим аппаратом этой теории является теория вероятностей и теория экстремальных задач. В качестве подходящего инструктивного материала по теории вероятностей можно рекомендовать [8]. Тем не менее для удобства читателей в дополнении приведены основные сведения из теории вероятностей, использованые в настоящей работе.
Финансовая модель с дискретным временем строится на конечном вероятностном пространстве , снабженном фильтрацией, т.е. возрастающей последовательностью -алгебр , содержащихся в . Алгебру можно рассматривать как информацию, имеющуюся в наличии в момент и ее часто называют -алгеброй событий, состоявшихся вплоть до момента . Множество всех возможных событий (множество всех подмножеств) обозначим через
Для удобства обозначений можно рассматривать также и . Далее мы будем предполагать, что и для любого , что влечет за собой конечность .
В моделях с дискретным временем часто рассматриваются последовательности различных величин, когда индекс последовательности пробегает множество . Такую последовательность мы будем сокращенно обозначать . В частности упомянутая выше последовательность -алгебр может быть обозначена как .