- •Е.А. Нурминский, л.Т. Ащепков, е.В. Трифонов Математические основы теории финансовых рынков
- •Основные инструменты
- •Облигации
- •Контракты
- •Опционы
- •Основные измерители финансовых рынков
- •Доходность
- •Дисконтирование и приведенная стоимость
- •Риск в финансовых моделях
- •Статическая теория ценообразования (capm)
- •Линия рынка ценных бумаг
- •Общая функция полезности
- •Аддитивность приведенной стоимости
- •Оценка управленческих решений
- •Арбитражная теория ценообразования
- •Оптимальное инвестирование
- •Статическая оптимизация портфеля
- •Основные понятия и обозначения
- •Инструменты или активы
- •Торговые стратегии
- •Мартингалы и возможности арбитража
- •Совершенные рынки и цены опционов
- •Цены и хеджирование опционов
- •Цены и хеджирование европейского опциона
- •Цена американского опциона
- •Биномиальная модель. Мартингализирующая мера
- •Биномиальная модель с точки зрения лп
- •Основные обозначения и постановка задачи
- •Биномиальный случай
- •Простейшее обобщение биномиальной модели: случай трех возможных состояний.
Совершенные рынки и цены опционов
Как мы уже упоминали ранее, одним из наиболее распространенных финансовых инструментов является опцион, зародившийся на основе торговли луковицами тюльпанов в Голландии в 17-ом веке. В своем наиболее общем виде опцион -- это оплаченное право купить или продать в будущем какой-либо актив или материальную ценность на заранее определенных условиях.
Простейший из опционов -- европейский заключается на право купить (call) некий актив в фиксируемую на момент продажи опциона дату . Цена , по которой будет совершена сделка, также фиксируется. Европейский опцион может быть также заключен на право продажи. В этом случае он называется put-опционом.
С формально-математической точки зрения можно определить европейский опцион со сроком исполнения , задав его функцию выплат . Функция выплат может зависеть от различных аргументов, для целей последующего изложения единственным условием является ее -измеримость. В простейшем случае европейского call-опциона выплата зависит от стоимости финансового инструмента в момент исполнения и цены исполнения :
Содержательный смысл этой величины заключается в том, что продав в момент финансовый инстумент по цене , лицо, выпустившее опцион дает возможность его владельцу немедленно заработать на разнице договорной цены и текущей рыночной стоимости инструмента ( конечно, если ). Если же , владельцу опциона не имеет смысла его реализовать.
Европейский опцион на продажу того же инструмента будет определен как
и интерпретируется таким же образом: если , владелец опциона может немедленно заработать на разнице договорной цены и текущей рыночной стоимости инструмента , купив на рынке актив по цене и продав его эмитенту опциона по цене . Если же , владельцу опциона не имеет смысла его реализовать.
Поскольку опцион -- это оплаченное право, его покупатель в любом случае выплачивает эмитенту некоторую стоимость опциона и одним из основных вопросов теории вторичных или производных ценных бумаг и опционов в частности, является определение их так называемой справедливой цены. Такая цена должна исключать арбитражные возможности и отражать конкурентно-равновесное состояние рынка.
В первую очередь условия отсутствия арбитражных возможностей приводят к весьма специальным соотношениям между ценами финансовых инструментов, в частности между ценами put и call опционов. Соотношение между ними носит название call-put эквивалентности.
Для вывода этого соотношения представим портфель, состоящий из 4-х видов финансовых инструментов: рискового актива ( акции ), европейских call и put опционов на эту акцию с одним и тем же сроком исполнения и договорной ценой исполнения и банковского счета ( безрискового актива ) с доходностью . Пусть структура портфеля ( количество данного актива в портфеле ) задается первой строкой табл. 3.4.
Table: Структура цен портфеля опционов. |
||||
|
акция |
put-опцион |
call-опцион |
банковский счет |
Структура портфеля |
1 |
1 |
-1 |
Z |
Стоимости в |
|
|
|
1 |
Стоимости в |
|
|
|
|
Заметим, что call-опцион содержится в портфеле в отрицательном количестве, что соответствует короткой позиции ( заем ).
Пусть цены call-put опционов подобраны так, что начальная стоимость портфеля равно нулю:
|
(31) |
Стоимость активов в момент исполнения опционов приведена в третьей строке таблицы, где , как обычно, коэффициент дисконтирования . Соответственно стоимость портфеля в момент исполнения опционов равна
и не зависит от стоимости рискованного актива.
Условие отсутствия арбитража в этом случае сводится к равенству : если то имеет место чисто арбитражная ситуация -- безрисковая положительная прибыль при нулевом начальном капитале. При достаточно изменить знаки позиций активов на противоположные и снова получить безрисковую положительную прибыль. Уравнение
определяет , что при подстановке в (33) и дает соотношение call-put эквивалентности
|
(32) |
В этих двух примерах опционов выплата зависела только от . Существуют опционы, зависящие от всей предыстории финансового инструмента, т.е. в этом случае является функцией всей последовательности или ее части. Это, например, так называемый азиатский опцион, когда цена исполнения равна средней цене инструмента, наблюдаемой в течение определенного времени перед исполнением, или парижский, где выплата зависит от того, превышает ли рыночная стоимость актива некоторый уровень на протяжении определенного интервала времени перед исполнением опциона.
В дальнейшем нам потребуется использовать понятие заявки (claim, contingent claim). Это понятие представляет собой предложение купли или продажи, высталенное на рынок, но еще не нашедшее встречного предложения. Условия заявки в контексте опциона сводятся к определению его срока действия и функции выплат.
Определение 12 Заявка, определяемая , называется достижимой, если существует допустимая стратегия , имеющая в момент стоимость для всех
Фундаментальное значение имеет тот факт, что для обеспечения выполнения условий опциона необходимо всего лишь найти на финансовом рынке самофинансирующуюся стратегию, которая имеет в момент исполнения стоимость и знать вероятностную меру, относительно которой дисконтированные цены являются мартигалами.
В самом деле, если -- это СФ-стратегия и -- вероятностная мера, эквивалентная , такая, что дисконтированные цены являются мартингалами относительно этой меры, то также является -мартингалом, будучи мартингальным преобразованием . Следовательно, для
|
(33) |
Выберем так, чтобы в конечный момент времени . Тогда, согласно (35) и, следовательно, , т.е. стратегия -- допустима. Поскольку в конечный момент времени значение портфеля совпадает с функцией выплат, то, продав этот портфель, эмитент может рассчитаться с покупателем опциона.
Определение 13 Рынок называется совершенным (complete), если каждая заявка достижима.
Предположение о том, что финансовый рынок является совершенным, достаточно ограничительно и не имеет такого ясного экономического обоснования, такого как, например, предположение об отсутствии арбитражных возможностей. Вместе с тем привлекательная особенность совершенных рынков заключается в том, что для таких рынков можно построить простую теорию цен заявок и хеджирования.
Следующая теорема дает еще одну характеризацию совершенных финансовых рынков.
Теорема 14 Рынок совершенен и нормален тогда и только тогда, когда существует единственная вероятностная мера , эквивалентная , относительно которой дисконтированные цены являются мартингалами.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Необходимость. Пусть рынок нормален и совершенен. Тогда любая неотрицательная -измеримая случайная величина может быть записана как , где -- допустимая стратегия, которая воспроизводит заявку . Поскольку -- СФ-стратегия, то
и в силу нормальности рынка существует ( теорема 14 ) по крайней мере одна вероятностная мера, мартингализирующая . Если и -- две вероятностные меры, относительно которых дисконтированные цены являются мартингалами, то является мартингалом относительно как так и .
Обозначим через математическое ожидание относительно меры , . Тогда
последнее равенство следует из того, что Поэтому
для произвольной и, следовательно, .
Достаточность. При существовании мартингализирующей меры нормальность рынка утверждается теоремой 14. Предположим теперь, что рынок нормален, но несовершенен. Тогда существует случайная величина (выплата) , которая не реализуема.
Обозначим через множество случайных величин вида
|
(34) |
где случайная величина измерима относительно и -- предсказуемый процесс со значениями в . Легко видеть, что -- линейное подпространство пространства случайных величин на Так как случайная величина не принадлежит то является строгим подмножеством множества всех случайных величин на .
На множестве всех случайных величин на можно определить скалярное произведение где -- математичекое ожидание относительно вероятностной меры , эквивалентной и относительно которой дисконтированные цены являются мартингалами. Заметим, что в силу теоремы 10
и, следовательно, .
Так как не совпадает с пространством всех случайных величин на , то существует ненулевая случайная величина , ортогональная к : для любого Определим
|
(35) |
Легко видеть, что , но Для того, чтобы убедиться в том, что -- вероятностная мера, положим в (36)
то есть . Тогда
Таким образом, (37) определяет новую вероятностную меру, эквивалентную , но не совпадающую с ней.
Обозначим через математическое ожидание по мере Поскольку
то
Следовательно,
для любого предсказуемого процесса Из леммы 11 следует, что является -мартингалом, что противоречит предполагаемой единственности мартингализирующей меры.