Дисконтирование и приведенная стоимость

Родственную или, скорее говоря, обратную к доходности величину

где -- сегодняшняя номинальная стоимость, -- завтрашняя номинальная стоимость какого-либо актива, называют коэффициентом дисконтирования или просто дисконтом. Очевидно где  -- доходность капитала, определенная выше. Дисконтирование будущих доходов или, иначе говоря, вычисление их текущей стоимости (present value, PV) -- это одна из основных ⁵операций в финансовой математике.

Приведенная стоимость будущих доходов определяется как дисконтированые будущие доходы:

Содержательно она обозначает ту минимальную сумму денег, которую нужно положить в банк под проценты с тем, чтобы получить в конце года рублей. Тем самым операция открытия банковского счета на сумму и та подразумеваемая экономическая деятельность, которая связана с получением будущего дохода становятся с точки зрения инвестора эквивалентными. Наличие таких эквивалентных схем черезвычайно важно для математической теории финансовых рынков и часто так или иначе закладывается в исходные предпосылки различных теорий. Упрощая, можно сказать, что в равновесном рынке все возможности вложения капитала должны быть с точки зрения инвестора эквивалентыми.

Свое первое применение находит в оценках экономической целесообразности инвестиционных проектов. Проект, требующий инвестиций в обьеме и обещающий будущий доход , экономически целесообразен для инвестора только в том случае, если

Здесь может быть доходностью альтернативных вложений капитала, сравнимых с данным проектом по остальным параметрам ( обьемам инвестиций, уровню риска и пр. ). Считая отрицательным, поскольу это расходы инвестора, последнее неравенство можно переписать в виде

что подсказывает обобщение принципа неотрицательности на случай потока платежей в равноотстоящие моменты времени при дисконтировании на каждом интервале времени:

(6)

Равенство нулю можно рассматривать как некоторый крайний случай и использовать его для определения эффективного дисконта или, что эквивалентно, эффективной доходности.

Уравнение (6) можно решить аналитически только для небольших . В общем случае его решают численно, с применением тех или иных приближенных методов. Любопытно отметить, что один из методов решения уравнения (6) для высоких степеней принадлежит Н.И. Лобачевскому, более известному как одному из авторов неэвклидовой геометрии.

Риск в финансовых моделях

Второй основной принцип финансовых операций заключается в явном учете риска -- возможности неполучения предполагаемых будущих доходов. Это неотьемлемая черта экономической реальности -- с каждым деловым решением, как правило, связан определенный риск. В случае финансовых операций мерой такого риска является непредсказуемая изменчивость доходности того или иного инструмента. Формальным аппаратом описания таких ситуаций является теория вероятностей, основным обьектом которой является вероятностное пространство , где -- множество элементарных исходов, -- набор подмножеств , образующих -алгебру событий, о вероятности которых имеет смысл говорить в данной модели, -- вероятностная мера событий, т.е. неотрицательная функция множеств , такая, что величина имеет смысл вероятности осуществления события , или, другими словами, наступления элементарного события . Подробнее аксиоматика теории вероятности и основные свойства приводятся в Приложении.

Применительно к задачам финансовой математики модель теории вероятностей предполагает, что, в частности, доходность является случайной величиной, т.е. функцией элементарных исходов . Ee изменчивость может быть охарактеризована величиной дисперсии доходности:

где -- случайная доходность, -- символ взятия математического ожидания, -- математическое ожидание или среднее значение доходности.

Интуитивно риск инвестиции представляет собой нечто вроде вероятности нежелательного события, когда цена или доходность некоторого инструмента сильно отклоняются от прогнозируемого (усредненного) значения.

Покажем, что эта вероятность может быть оценена через . Действительно,

Это неравенство известно как неравенство Чебышева. Оно позволяет оценить сверху вероятность неблагоприятных событий. Как показываеь это неравенство, оценка вероятности больших отклонений от среднего значения пропорциональна дисперсии. В силу этого в финансовой математике в качестве меры риска часто принимают дисперсию или среднеквадратичное отклонение .

При операциях на рынке ценных бумаг различают риск и доходность отдельной ценной бумаги и риск и доходность пакета (портфеля) ценных бумаг. Совокупность всех ценных бумаг, представленных на рынке можно считать (очень большим) портфелем инвестора. Как таковой он имеет свою доходность и риск, который называется риском рынка (market risk). Риск хорошо диверсифицированного пакета инвестора близок к риску рынка. Риск индивидуальной ценной бумаги называется отдельным (unique).

Если рассмотреть портфель воображаемого инвестора, состоящего из активов в количествах и обладающих в данный момент рыночной стоимостью , то его суммарная стоимость будет составлять

а соответствующая мгновенная доходность ( сила роста и пр. ) при неизменной структуре:

где -- доля стоимости -го актива в общей стоимости портфеля, -- мгновенная доходность -го актива. Величины удовлетворяют естественным условиям нормировки:

Доходность многиx видов активов подвержена внезапным и непрогнозируемым измененениям. Такие активы называют рисковыми. В этом случае моделируются случайными величинами и средняя доходность портфеля равна

Дисперсия портфеля рисковых активов как мера риска составляет

где -- коэффициент статистической ковариации между доходностью -го актива и доходностью всего портфеля.

Умножив и разделив члены последней суммы на дисперсию портфеля , получим

где можно рассматривать как относительный вклад риска -го актива в общий риск портфеля. Очевидно, что коэффиценты удовлетворяют условиям нормировки

Совокупность всех активов, обращающихся на рынке, тоже можно представить как некоторый портфель инвестора. Этот специальный портфель носит название рыночного и в этом случае величины представляют в виде:

Величина представляет собой очень важный индикатор чувствительности доходности актива к колебаниям доходности рынка. Эта величина тщательно оценивается для основных рыночных активов и результаты публикуются в виде так называемых ''бета-книг''.

То же выражение для можно получить, предположив, что доходность актива простейшим ( линейным ) образом зависит от общей доходности рынка и содержит некоррелированную с рыночной доходностью случайную составляющую с нулевым средним:

(7)

Тогда риск -го актива равен

В силу предполагаемой некоррелированности и последнее слагаемое равно нулю:

и, следовательно,

Это выражение разбивает риск актива на рыночную составляющую , которую называют систематическим риском и , которую называют индивидуальным риском.

Ковариация и рыночной доходности имеет вид

что дает то же выражение для .

Линейная зависимость (7) позволяет вычислить с помощью стандартного метода наименьших квадратов, теория и практика применения которого особенно в экономических приложениях разработана в достаточной степени (см., например, [5] для обзора современного состояния).

Другая отличительная черта модели (7) заключается в том, что в этом случае эффект индивидуальных рисков можно существенно уменьшить за счет диверсификации портфеля. Например, даже простейшая диверсификация в виде равнораспределенных средств делает суммарный риск портфеля с доходностью

равным

Для хорошо диверсифицированного портфеля индивидуальные колебания доходности некоррелированны и независимы от . При этом

(8)

где

-- ''средняя бета'' для инвестиционного портфеля,

-- ''средняя дисперсия'' для портфеля.

При совокупной ограниченности последнее слагаемое в формуле (8) стремится к нулю, так что риск определяется в основном средней ''реактивностью'' портфеля по отношению к колебаниям рынка и собственным риском рынка.

Статические модели

В этом разделе рассмотрены основные понятия статической теории фондовых рынков: связь между риском и доходностью активов, принципы инвестирования, статическая задача выбора портфеля инвестиций, оптимального по риску.

Subsections

• Статическая теория ценообразования (CAPM)

  • Линия рынка ценных бумаг

  • Общая функция полезности

  • Аддитивность приведенной стоимости

  • Оценка управленческих решений

• Арбитражная теория ценообразования

• Оптимальное инвестирование

• Статическая оптимизация портфеля