- •Е.А. Нурминский, л.Т. Ащепков, е.В. Трифонов Математические основы теории финансовых рынков
- •Основные инструменты
- •Облигации
- •Контракты
- •Опционы
- •Основные измерители финансовых рынков
- •Доходность
- •Дисконтирование и приведенная стоимость
- •Риск в финансовых моделях
- •Статическая теория ценообразования (capm)
- •Линия рынка ценных бумаг
- •Общая функция полезности
- •Аддитивность приведенной стоимости
- •Оценка управленческих решений
- •Арбитражная теория ценообразования
- •Оптимальное инвестирование
- •Статическая оптимизация портфеля
- •Основные понятия и обозначения
- •Инструменты или активы
- •Торговые стратегии
- •Мартингалы и возможности арбитража
- •Совершенные рынки и цены опционов
- •Цены и хеджирование опционов
- •Цены и хеджирование европейского опциона
- •Цена американского опциона
- •Биномиальная модель. Мартингализирующая мера
- •Биномиальная модель с точки зрения лп
- •Основные обозначения и постановка задачи
- •Биномиальный случай
- •Простейшее обобщение биномиальной модели: случай трех возможных состояний.
Цены и хеджирование опционов
В этом разделе рассмотрены вопросы определения конкурентных цен европейского и американского опционов. Попутно будут найдены допустимые торговые стратегии, гарантирующие для эмитента опциона возможность выплаты опционной премии.
На протяжении этого раздела предполагается, что рынок является нормальным и совершенным. Обозначим через единственную вероятностную меру, относительно которой дисконтированные цены финансовых инструментов являются мартингалами.
Subsections
Цены и хеджирование европейского опциона
Цена американского опциона
Биномиальная модель. Мартингализирующая мера
Цены и хеджирование европейского опциона
По определению, европейский опцион определяется своей функцией выплат . Пусть -- измеримая относительно неотрицательная случайная величина (заявка) и - допустимая стратегия, воспроизводящая эту заявку, то есть
Последовательность является -мартингалом и, следовательно,
и вообще
|
(36) |
В любой момент времени значение допустимой стратегии, воспроизводящей , полностью определяется . Представляется естественным назвать ценой опциона: это капитал, который необходимо иметь в момент , для того, чтобы в момент воспроизвести , используя стратегию . Заметим, однако, что такое определение цены опциона не дает никакой прибыли эмитенту опциона: свой портфель, имеющийся у него к моменту исполнения опциона, он должен полностью реализовать, чтобы произвети выплату. Такая цена является, следовательно, скорее нижней гранью возможных рыночных цен опционов, ниже которой эмитенту просто небезопасно опускаться.
Если в момент инвестор продает опцион за то он может использовать стратегию воспроизводящую для того, чтобы в момент гарантироватьенерировать выплату . Такая процедура называется хеджированием (hedging), от английского hedge -- страховаться, обезопасить себя. Другими словами, при использовании стратегии инвестор идеально хеджирован. Какова бы не была ситуация на рынке ( ), он в состоянии выплатить владельцу опциона причитающуюся ему .
Кроме этого, вычисление цены опциона требует определения лишь и не зависит от ''настоящей'' . При этом, как показано в разделе 3.3, построение требует лишь знания множества элементарных исходов или, точнее, сценариев возможных изменений цен рисковых активов. Анализ модели Кокса-Росса-Рубинштейна (КРР), рассмотренный в следующем разделе, покажет, как мы можем на практике вычислить цену опциона и хеджирующую стратегию.
Цена американского опциона
Так как американский опцион может быть исполнен в любое время между и , мы определим его как последовательность неотрицательных случайных величин (выплат), адаптированную к . Случайная величина -- это немедленная прибыль владельца опциона, получаемая от исполнения опциона в момент времени . В случае американского call-опциона на акции стоимостью с ценой исполнения функция выплат ; в случае put-опциона -- .
Справедливую цену опциона , ассоциированную с выплатами можно получить, используя метод индукции в обратном времени, начиная с момента .
Действительно, стоимость опциона в момент окончания его действия, очевидно, совпадает с . По какой цене опцион следует продавать в момент ?
Если держатель опциона исполняет его в этот момент времент, он получает . Если он откладывает его исполнение до момента , то выпустивший опцион должен быть готов заплатить ему . Поэтому в момент времени эмитент должен иметь возможность заработать капитал, представляющий собой максимум из и суммой, которую необходимо иметь в момент времени , чтобы получить в момент .
Другими словами, чтобы быть готовым к любым вариантам развития событий в будущем, в момент эмитент должен получить от продажи опциона сумму, равную максимуму из и значения в момент допустимой стратегии, дающей в момент выплату т.е. с .
Таким образом, в момент имеет смысл оценить опцион как
По индукции определим цену американского опциона для как
Если предположить, что доходность безрисковой бумаги за один период постоянна и равна , то и
Пусть --дисконтированная цена американского опциона.
Теорема 15 Последовательность является -супермартингалом. Это наименьший супермартингал, мажорирующий последовательность .
Д о к а з а т е л ь с т в о. Из равенства
следует, что -- супермартингал, мажорирующий .
Действительно, по постороению
или
что доказывает супермартингальность .
Аналогично, умножая на , получаем мажорирующее свойство :
Пусть теперь -- некоторый супермартингал, который также мажорирует Тогда в конечный момент времени
Покажем при помощи индукции в обратном времени, что
|
(37) |
Дествительно, (39) выполнено для . Пусть для некоторого . Тогда, с одной стороны
С другой стороны по предположения. Поэтому
Индукция в обратном времени доказывает, что мажорирует для всех .