- •Е.А. Нурминский, л.Т. Ащепков, е.В. Трифонов Математические основы теории финансовых рынков
- •Основные инструменты
- •Облигации
- •Контракты
- •Опционы
- •Основные измерители финансовых рынков
- •Доходность
- •Дисконтирование и приведенная стоимость
- •Риск в финансовых моделях
- •Статическая теория ценообразования (capm)
- •Линия рынка ценных бумаг
- •Общая функция полезности
- •Аддитивность приведенной стоимости
- •Оценка управленческих решений
- •Арбитражная теория ценообразования
- •Оптимальное инвестирование
- •Статическая оптимизация портфеля
- •Основные понятия и обозначения
- •Инструменты или активы
- •Торговые стратегии
- •Мартингалы и возможности арбитража
- •Совершенные рынки и цены опционов
- •Цены и хеджирование опционов
- •Цены и хеджирование европейского опциона
- •Цена американского опциона
- •Биномиальная модель. Мартингализирующая мера
- •Биномиальная модель с точки зрения лп
- •Основные обозначения и постановка задачи
- •Биномиальный случай
- •Простейшее обобщение биномиальной модели: случай трех возможных состояний.
Биномиальный случай
Модель, в которой цена акции на каждых торгах может принимать лишь два значения, т.е. , была впервые рассмотрена в статье [16]. Мы будем дальше обозначать . Для этого случая задача ЛП принимает вид
|
(42) |
|
(43) |
Это условия самофинансирования для момента времени , и т.д. Для произвольного дискретного момента времени их можно записать в виде
|
(44) |
в то время как хедж-условия имеют вид
|
(45) |
Здесь -- значение функции выплаты при соответствующих ценовых ситуациях.
Число переменных в этой модели есть, очевидно,
Так как для каждого возможного мультииндекса мы имеем 2 ограничения (в виде равенства или неравенства), то легко видеть, что число ограничений также есть . Поэтому ясно, что соответствующий задаче линейного программирования выпуклый многогранник ( см. приложение ) имеет единственную крайнюю точку. Простой анализ показывает, что данная ЛП-задача не имеет неограниченного минимума. Таким образом, для решения задачи (44-47) следует решить систему (46-47), взяв все ограничения в виде равенств, и подставить соответствующие значения и в функцию (44).
Это может быть сделано, например, в виде следующей последовательности рассуждений. Если ввести обозначения для торговой стратегии, для текущих котировок и для стоимости портфеля, то условия самофинансирования могут быть записаны в виде
|
(46) |
Лемма 17 Значения котировок в различные моменты времени связаны соотношениями
Д о к а з а т е л ь с т в о.
Разлагая вектор-строку по векторам и
получаем для и систему
решение которой и доказывает лемму.
Лемма 18 Условия самофинансирования дают для биномиальной модели
Д о к а з а т е л ь с т в о. Опираясь на определение , лемму 20 и условия самофинансирования в форме (48), получаем цепочку равенств
Лемма 19 Начальный капитал может быть представлен в виде
Д о к а з а т е л ь с т в о.
Из леммы 22 непосредственно следует окончательная
Теорема 20 Справедливая цена опциона для биномиальной модели CRR дается выражением
|
(47) |
Для случая опциона купли (call-опцион) , где . Пусть - наименьшее целое, для которого . Тогда формула (49) принимает вид
где .
Простейшее обобщение биномиальной модели: случай трех возможных состояний.
Предположим, что на каждых торгах цена акции может изменяться только в и раз ( ), и решим задачу о цене опциона в случае . Соответствующая задача ЛП имеет вид
|
(48) |
|
|
|
|
|
|
|
(49) |
|
|
|
|
Здесь и т.д. -- значения функции выплаты при соответствующих ценовых ситуациях.
Для ее решения перейдем к двойственной задаче, которая выглядит следующим образом:
|
(50) |
|
(51) |
В дальнейшем будем использовать симплекс-метод. Чтобы определить начальный допустимый базис, воспользуемся ''методом искусственного базиса'' (см. например, [11]). Введем вспомогательные (так называемые ,,искусственные") переменные следующим образом:
|
(52) |
Для системы (54) переменные и образуют допустимый базис. Если перевести эти переменные в небазисные, то они примут нулевые значения, и мы получим допустимый базис для системы (53). Для такого перевода можно использовать симплекс-метод. А именно, решим задачу минимизации функции при ограничениях (54) и
Указанная процедура приводит к следующему результату:
|
(53) |
Взяв этот допустимый базис в качестве исходного и применяя симплекс-метод, легко видеть, что функция (50) достигает минимума, равного
если величина
неотрицательна. Интересно отметить, что это всегда так для call-опциона с функцией выплаты , как показывает несложный анализ. Для этого надо рассмотреть варианты соотношения величины и стомости акции в момент времени , ( например, , и т.д. ), и произвести простые алгебраические манипуляции.
Видно, что в этом случае добавление третьего состояния не дает ничего существенно нового для определения рациональной стоимости опциона: такой же результат дает биномиальная модель по формуле (49), если вообще не рассматривать возможность изменения цены акции в раз. На цену влияют лишь максимальный и минимальный коэффициенты.
Однако для других функций выплаты возможны и другие варианты: если , то стоимость опциона будет
Теперь игнорируется уже состояние, соответствующее росту акций в раз.