- •Е.А. Нурминский, л.Т. Ащепков, е.В. Трифонов Математические основы теории финансовых рынков
- •Основные инструменты
- •Облигации
- •Контракты
- •Опционы
- •Основные измерители финансовых рынков
- •Доходность
- •Дисконтирование и приведенная стоимость
- •Риск в финансовых моделях
- •Статическая теория ценообразования (capm)
- •Линия рынка ценных бумаг
- •Общая функция полезности
- •Аддитивность приведенной стоимости
- •Оценка управленческих решений
- •Арбитражная теория ценообразования
- •Оптимальное инвестирование
- •Статическая оптимизация портфеля
- •Основные понятия и обозначения
- •Инструменты или активы
- •Торговые стратегии
- •Мартингалы и возможности арбитража
- •Совершенные рынки и цены опционов
- •Цены и хеджирование опционов
- •Цены и хеджирование европейского опциона
- •Цена американского опциона
- •Биномиальная модель. Мартингализирующая мера
- •Биномиальная модель с точки зрения лп
- •Основные обозначения и постановка задачи
- •Биномиальный случай
- •Простейшее обобщение биномиальной модели: случай трех возможных состояний.
Биномиальная модель. Мартингализирующая мера
Существует одна модель, для которой удалось полностью решить задачу оптимального хеджа европейского опциона и явным образом определить мартингализирующую меру . В этой модели рассматривается всего лишь один рисковый инструмент, цена которого в момент равна и безрисковый инструмент с доходностью за единицу времени. Сохраняя обозначение предыдущих разделов, положим Предполагается, что рисковый инструмент ведет себя следующим образом: между двумя последовательными периодами времени относительное изменение цен равно либо , либо , где :
Начальная цена акций задана.
Множество возможных состояний или, иначе говоря, множество элементарных исходов в этой модели представляет собой множество последовательностей , где каждая из равна либо либо . Переменные представляют собой отношения цен в последовательные моменты времени:
Структура событий в этой модели может быть задана -алгебрами, порождаемыми случайными величинами Мы будем считать, что и . Задание вероятностной меры эквивалентно заданию вероятностей различных последовательностей . Нам не потребуется делать какие-либо предположения о вероятностной мере , за исключеннием того, что в каждый момент времени существует ненулевая вероятность обоих исходов.
Как мы показали ранее, для построения хеджирующей стратегии европейского опциона и определения его цены необходимо найти риск-нейтральную вероятностную меру , обращающую дисконтированную цену рискового актива в мартингал. В нашем случае свойство мартингальности сводится к равенству
Так как то это равнство можно переписать в виде
Учитывая то, что принимает всего два значения, и , получаем
|
(38) |
Добавляя к (40) условие нормировки
получаем простейшую систему линейных уравнений для определения и , решение которой
Положительность и требует, чтобы для доходности безрисковой бумаги выполнялись неравенства
что имеет вполне прозрачный экономический смысл.
При есть возможность, взяв безрисковый кредит, получить, ничем не рискуя, чистую прибыль с положительной вероятностью. При надо продать не принадлежащую вам акцию и вложить эти деньги в безрисковый инструмент.
Из того, что вероятности и не зависят от следует, что являются относительно меры независимыми случайными величинами, принимающими значения и с вероятностями и соответственно. Остается добавить, что так как мартингализирующая мера в этом случае единственная, то, согласно теореме 17, рынок является нормальным и совершенным.
Численные методы финансовой математики
Аналитическое решение задачи нахождения равновесных цен произвожных ценных бумаг возможно лишь в исключительных случаях. Вдобавок эти случаи слишком просты, чтобы представлять действительный интерес для практиков.
Отчасти этим можно обьяснить то разнообразие эвристических приемов, которые используют практики для хеджироания рисковых активов и то разнообразие ситуаций, которое видят в колебаниях биржевых котировок специалисты по техническому анализу: ''свечи'', ''головы'', ''плечи'', ''волны Элиота'' и т.п..
В последнее время ситуация все же изменяется в сторону большего применения методов математического моделирования, использования численных методов, компьютерный анализ рынков. При этом используется все более сложный математический и вычислительный аппарат: методы теории уравнений в частных производных, теория вариационных неравенств, линейное и нелинейное программирование, оптимальное управление и др. Сколько-нибудь подробное изложение хотя бы основных методик выходит зп рамки целей этого пособия и мы ограничимся изложением применения одного из наиболее практических способов решения задачи вычисления цены опциона -- линейного программирования (ЛП).
На этом пути также возможно естественное обобщение биномиальной модели: а именно, в полиномиальном случае цена акции может на каждом этапе принимать более чем два значения. Ниже приводится постановка задачи ЛП для определения цены опциона и хеджирующей стратегии в полиномиальном случае, а также ее аналитическое (хотя и негладкое) решение для простейшего случая -- когда количество возможных состояний равно трем, а количество шагов по времени -- одному.
Subsections
Биномиальная модель с точки зрения ЛП
Основные обозначения и постановка задачи
Биномиальный случай
Простейшее обобщение биномиальной модели: случай трех возможных состояний.