- •Е.А. Нурминский, л.Т. Ащепков, е.В. Трифонов Математические основы теории финансовых рынков
- •Основные инструменты
- •Облигации
- •Контракты
- •Опционы
- •Основные измерители финансовых рынков
- •Доходность
- •Дисконтирование и приведенная стоимость
- •Риск в финансовых моделях
- •Статическая теория ценообразования (capm)
- •Линия рынка ценных бумаг
- •Общая функция полезности
- •Аддитивность приведенной стоимости
- •Оценка управленческих решений
- •Арбитражная теория ценообразования
- •Оптимальное инвестирование
- •Статическая оптимизация портфеля
- •Основные понятия и обозначения
- •Инструменты или активы
- •Торговые стратегии
- •Мартингалы и возможности арбитража
- •Совершенные рынки и цены опционов
- •Цены и хеджирование опционов
- •Цены и хеджирование европейского опциона
- •Цена американского опциона
- •Биномиальная модель. Мартингализирующая мера
- •Биномиальная модель с точки зрения лп
- •Основные обозначения и постановка задачи
- •Биномиальный случай
- •Простейшее обобщение биномиальной модели: случай трех возможных состояний.
Общая функция полезности
К тем же соотношениям, что и в предыдущем разделе, приводят рассуждения для произвольной квадратичной функции полезности 7инвестора.
Чтобы показать это, рассмотрим типичного инвестора с портфелем рискованных активов и банковским счетом ( безрисковым активом ). Пусть в -ый рискованный актив вложен капитал и его ( случайная ) доходность составляет . Стоимость банковского счета обозначим через , а его доходность ( гарантированную ) -- через .
В этих условиях текущая суммарная стоимость активов инвестора составляет , а его будущая стоимость представляет собой . Предположим, что инвестор оценивает возможные последствия своих действий с помощью функции полезности, квадратично зависящей от величины капитала:
|
(11) |
Предполагается, что инвестор заинтересован в максимизации , т.е. вариант считается предпочтительней , если . Мы предполагаем специальную форму квадратичной зависимости (11), учитывая то, что
функция должна быть вогнутой, для математической корректности задачи оптимизации,
на результат сравнения и не сказываются прибавление к функции полезности постоянного слагаемого или ее масштабирование с помощью некоторой положительной константы.
При многократном повторенни ситуации инвестор может быть заинтересован в максимизации средней полезности, получаемой от будущих доходов:
Обсуждение этого сведения можно найти в Приложении.
Для простоты рассмотрим сначала случай одного рискового актива и одного инвестора. Считая начальный капитал инвестора заданным, оптимальное поведение инвестора определим как решение задачи
где и -- его капитал в акциях и банковском счете, соответственно, -- капитал инвестора в следующий момент времени. Доходность рискового актива предполагается случайной величиной, доходность безрискового банковского актива неслучайна и известна заранее.
Для того, чтобы решить эту задачу, необходимо составить функцию Лагранжа
где -- двойственная переменная, соответствующая бюджетному ограничению, и приравнять ее производные нулю:
или
|
(12) |
Так как , то (12) сводится к
Легко проверить, что
Следовательно
или
|
(13) |
Соотношение (13) справедливо для всех участников рынка, если предполагать их одинаково мотивированными, одинаково информированными и находящимися в однаковых экономических условиях. Поэтому, суммируя (13) по участникам, каждый из которых ассоциируется со своим , получаем
где и сумма берется по всем участникам. Стоимость всего рыночного запаса акций может быть представлена как стоимость всего рынка акций в предшествующий момент времени, увеличенная в соответствии с рыночной доходностью :
где -- переобозначение для . В результате получаем
Аддитивность приведенной стоимости
С точки зрения практических экономистов большое достоинство CAPM заключается в том, что при оценке портфелей ценных бумаг она ведет к аддитивности приведенных стоимостей активов, составляющих данный портфель.
Пусть портфель инвестора состоит из бумаг в объемах Тогда его суммарная стоимость
и доходность:
где
Очевидно Для рыночного портфеля
Рассмотрим, не умаляя общности, пакет, состоящий из двух ценных бумаг -- и . Доход от портфеля будет, очевидно, равен сумме доходов от отдельных акций:
Вводя коэффициенты доходности , относящиеся к доходности портфеля и отдельных активов и , это равенство можно представить в виде:
|
(14) |
где -- приведенные стоимости акций и портфеля .
Дифференцируя по получаем
или
|
(15) |
Теория CAPM дает
где -- рыночная премия за риск. Подставив эти соотношения в (14), получаем
Учитывая (15), получаем
или
что и требовалось доказать.